Вікіпедія

Множина Жуліа: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[перевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Немає опису редагування
Виправлено мовленнєві помилки, додано наголос, змінено посилання, шаблони
Рядок 1:
[[Файл:Fractal_julia.png|міні|Множина Жуліа. Точніше, це не сама множина (яка в даномуцьому випадку складається з незв'язних точок і не може бути намальована), а точки з її околу. Чим яскравіше точка, тим ближче вона до множини Жуліа і тим більше ітерацій їй потрібно, щоб відійти від нуля на задану велику відстань]]
[[Файл:Julia_set_(highres_01).jpg|міні|Множина Жуліа. Точніше, це не сама множина (яка в даномуцьому випадку складається з незв'язних точок і не може бути намальована), а точки з її околу. Чим яскравіше точка, тим ближче вона до множини Жуліа і тим більше ітерацій їй потрібно, щоб відійти від нуля на задану велику відстань]]
[[Файл:Time escape Julia set from coordinate (phi-2, 0).jpg|міні|Заповнена множина Жуліа для відображення ''f<submath>c</sub>''f_c, ''c'' = 1 −- φ\varphi</math>, де φ<math>\varphi</math> є [[Золотий перетин|золотим перетином]]. Осьова симетрія свідчить про відсутність уявної складової у вільному члені відображення ''f<submath>cf_c</submath>'')]]
У {{Нп|Голоморфна динаміка|голоморфній динаміці|ru|Голоморфная динамика}}, '''множина[[Множина|множина́]] ЖуліаЖуліа́''' <math>J(f)</math> раціонального відображення <math>f:\Complex P^1\to \Complex P^1</math>&nbsp;— множина точок, динаміка в околиці яких у певному сенсі нестійка відносно малих збурень початкового положення. У випадку, якщо ''<math>f''</math>&nbsp;— поліном, розглядають також '''заповнену множину Жуліа'''&nbsp;— множину точок, що не прямують до нескінченності. Звичайна множина Жуліа при цьому є її [[Межа (топологія)|межею]].
 
'''Множина''' '''ФатуФату́''' <math>F(f)</math>&nbsp;— доповнення до множини Жуліа. Іншими словами, динаміка ітерування ''f'' на <math>F(f)</math> регулярна, а на <math>J(f)</math> хаотична.
 
Доповнює [[Теорема Пікара|велику теорематеорему Пікара]] про «поведінку аналітичної функції в околі істотно особливої точки».
 
Ці множини названі за іменами французьких математиків [[Гастон Жуліа|Гастона Жуліа]] і [[П'єр Фату|П'єра Фату]], які поклали початок дослідженням голоморфної динаміки на початку XX століття.
 
== Визначення ==
Нехай <math>f:\Complex P^1\to \Complex P^1</math>&nbsp;— раціональне відображення. Множина Фату складається з точок ''<math>z''</math>, таких, що в обмеженні на досить малий окіл ''<math>z</math>'' послідовність ітерацій
 
: <math>(f^n)_{n\in\mathbb{N}}</math>
Рядок 22:
 
* Як випливає з визначень, множина Жуліа завжди [[Замкнута множина|замкнута]], а множина Фату — [[Відкрита множина|відкрита]].
* Множина Жуліа для відображення {{Нп|Степінь відображення|степеня|ru|Степень отображения}}, більшого ніж 1, завжди непорожня (інакше можна було б вибрати рівномірно збіжну підпослідовність з ітерацій). Стосовно ж множини Фату аналогічне твердження неправильне: існують приклади, в яких множина Жуліа виявляється всією [[Сфера Рімана|сферою Рімана]]. Такий приклад можна побудувати, взявши відображення <math>z\mapsto 2z (mod\, \Z [i])</math> подвоєння на торі <math>\Complex/\Z [i]</math> (динаміка якого, очевидно, скрізь хаотична) і пропустивши його через [[Еліптичні функції Вейєрштрасса|<math>\wp</math>-функцію Веєрштрасса]] <math>\wp: \Complex/\Z [i] \to \Complex P^1 </math>.
* Множина Жуліа є замиканням об'єднання всіх відштовхувальних періодичних орбіт.
* Множини Фату і Жуліа обидві повністю інваріантні під дією ''f'', тобто збігаються як зі своїм образом, так і з повним прообразом:
Рядок 29:
: <math>\ f^{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F(f).</math>
 
* Множина Жуліа ''<math>J(Ff)</math>'' є межею (повного) басейну тяжіння будь-якої притягальної або суперпритягальної орбіти; окремим випадком цього є твердження, що ''<math>J(Ff)</math>'' це межа заповненої множини Жуліа (оскільки для поліноміального відображення нескінченність&nbsp;— суперпритягальна нерухома точка, а заповнена множина Жуліа є доповнення до її басейну тяжіння). Крім того, взявши полиноміальне відображення з трьома різними притягальними нерухомими точками, отримуємо приклад трьох відкритих (природно, незв'язних) множин на площині зі спільною межею.
* Якщо відкрита множина <math>U</math> перетинає множину Жуліа, то, починаючи з деякого досить великого ''n'', образ <math>f^n(U\cap J) = f^n(U) \cap J</math> збігається з усією множиною Жуліа <math>J</math>. Іншими словами, ітерації розтягують як завгодно маленький окіл у множині Жуліа на всю множину Жуліа.
* Оскільки зазначене вище розтягнення найчастіше відбувається досить швидко, голоморфні відображення [[Конформне відображення|конформні]], а множина Жуліа [[Інваріантна множина|інваріантна]] щодо динаміки — вона виявляється такою, що має [[Фрактал|фрактальну структуру]]: її маленькі частини схожі на великі.
* Якщо множина Жуліа відмінна від усієї [[Сфера Рімана|сфери Рімана]], то вона не має [[Внутрішня точка|внутрішніх точок]].
* Для всіх точок ''z'' сфери Рімана, крім, можливо, двох, множина граничних точок послідовності повних прообразів <math>f^{-n}(z)</math> є множиною Жуліа. Ця властивість застосовується в комп'ютерних алгоритмах побудови множини Жуліа.
* {{Нп|Теорема Саллівана про відсутність компонент, що блукають|Теорема Саллівана|ru|Теорема Салливана об отсутствии блуждающих компонент}} стверджує, що будь-яка [[Зв'язаний простір|компонента зв'язності]] множини Фату передперіодична. УСвоєю свою чергу,чергою теорема про класифікацію періодичних компонент множини Фату стверджує, що періодичні компоненти бувають одного з чотирьох типів: басейн тяжіння притягальної або суперпритягальної [[Нерухома точка|нерухомої]] або [[Нерухома точка|періодичної]] точки, пелюстка Фату параболічної точки, {{Нп|диск Зигеля||ru|Диск Зигеля}} і {{Нп|кільце Ермана||ru|Кольцо Эрмана}}.
 
== Пов'язані поняття ==
Квадратичне відображення <math>z\mapsto P_2(z)</math> заміною координат завжди зводиться до вигляду <math>z\mapsto z^2 +c</math>. Виявляється, що множина Жуліа буде [[Зв'язаний простір|зв'язною]] тоді і тільки тоді, коли критична точка ''<math>z=0''</math> (або, що те ж саме, її образ ''<math>z=c</math>'') не йде у нескінченність. У разі, якщо ітерації 0 прямують до нескінченності, множина Жуліа (яка збігається, в цьому випадку, з заповненою множиною Жуліа) виявляється гомеоморфною канторовій множині ій має міру нуль. У цьому випадку її називають '''пилом Фату''' (незважаючи напопри назву, яка збиває з пантелику, це саме множина Жуліа&nbsp;— множина хаотичної динаміки!).
 
Множина параметрів ''c'', при яких множина Жуліа квадратичної динаміки зв'язна, називається '''[[Множина Мандельброта|множиною Мандельброта]]'''. Вона також має фрактальну структуру (і є, ймовірно, одним з найбільш знаменитих фракталів).
Рядок 43:
== Чисельна побудова ==
 
=== Метод сканування межі (''BSM'') ===
Якщо функція <math>f</math> має кілька атракторів (нерухомих або періодичних притягувальних точок), множина Жуліа є межею басейну тяжіння будь-якого з них. На цій властивості заснований алгоритм побудови зображення множини Жуліа, названий «методом сканування межі» (''boundary scanning method'', ''BSM''). Він полягає в такому. Розглянемо сітку прямокутних пікселів. Щоб визначити, чи слід зафарбовувати піксель як такий, що належить множині Жуліа, обчислюється образ кожного з його «кутів» під дією великого числа ітерацій f. Якщо образи далекі один від одного, значить кути належать басейнам різних атракторів. З цього випливає, що межа між басейнами проходить через данийцей піксель, і він зафарбовується. Перебираючи всі пікселі, отримуємо зображення, що наближає множину Жуліа.
 
Цей метод також можна використовувати ій ву разі, коли двох атракторів немає, але є диски Зигеля, кільця Ермана або параболічні басейни. (Якщо дві близькі точки залишаються близькими, значить їхні орбіти стійкі за Ляпуновим, і невеликий окіл цих точок належить області Фату; інакше поблизу них є точки множини Жуліа.) У той же часОднак, данийцей метод не працює, коли відображення має лише один атрактор, і майже вся сфера Рімана є його басейном тяжіння. (Наприклад, <math>z\mapsto z^2+i</math>.)<ref name="Saupe">{{Стаття|автор=D. Saupe|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070611010435/http://www.inf.uni-konstanz.de/cgip/bib/files/Saupe87.pdf|archivedate=2007-06-11}}</ref>
 
=== Метод обчислення зворотних ітерацій (IIM) ===
[[Файл:JSr07885.gif|праворуч|Значення c для кожного кадру обчислюються за формулою: <math>c=r*\cos( a)+i*r*ir\sin( a)</math>, де <math>a=(0..2*\Pi)</math>, <math>r=0{,}7885</math>.|міні|400x400пкс]]
Множина Жуліа є замиканням об'єднання всіх повних прообразів будь-якої відштовхувальної нерухомої точки. Таким чиномОтже, якщо є ефективний алгоритм обчислення зворотного відображення <math>f^{-1}</math>і відома хоча б одна відштовхувальна нерухома точка, для побудови множини Жуліа можна послідовно обчислювати її зворотні образи. На кожному кроці у кожної точки є стільки ж прообразів, який степінь f, тому загальне число прообразів зростає експоненціально, і зберігання їх координат вимагає великих обсягів пам'яті.<ref name="Saupe">{{Стаття|автор=D. Saupe|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070611010435/http://www.inf.uni-konstanz.de/cgip/bib/files/Saupe87.pdf|archivedate=2007-06-11}}</ref> На практиці також використовується така модифікація: на кожному кроці вибирається один випадковий прообраз. При цьому, однак, потрібно враховувати, що такий алгоритм обходить множину Жуліа не рівномірно: в деякі області може потрапити тільки за дуже великий (практично недосяжний) час, і вони не будуть зображені на отриманому графіку.
 
== Цікаві факти ==
Математики довели, що довільна замкнена фігура на площині може бути як завгодно близько наближена множиною Жуліа для відповідного многочлена. Серед іншого, вяк якості демонстраціїдемонстрацію власної техніки, ученим вдалося побудувати досить хороше наближення силуету кота. За словами вчених, їхній приклад наочно демонструє, що динаміка поліноміальних (тобто задаваних многочленами) динамічних систем може бути влаштована максимально різноманітно. Вони кажуть, що запропонований ними приклад буде корисний у теорії таких систем<ref>[http://lenta.ru/news/2012/09/28/fract/ Математики наблизили кота множинами Жуліа]{{ref-ru}}</ref>
 
==Див. також==
Рядок 62:
 
== Посилання ==
* Мілнор, Дж. Голоморфна динаміка. Ввідні лекції. = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. &nbsp;— Іжевськ: НДЦ «Регулярна і хаотична динаміка», 2000.  — 320 с.&nbsp;— <nowiki>ISBN 5-93972-006-4</nowiki>. {{Ref-ru}}
* [https://web.archive.org/web/20110317020756/http://www.lizardie.com/links/download/fractal-generator Проста програма для генерування множин Жуліа (Windows, 370 кБ)] {{Ref-en}}
* [http://fractalworld.xaoc.ru/Mandelbrot_set_and_Julia_set Множини Мандельброта та Жуліа на сайті FractalWorld] {{Недоступне посилання|дата=}}
{{Фрактали}}
{{Перекласти|en|Julia set}}
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Множина_Жуліа