Логарифмічно опукла функція: відмінності між версіями
| [очікує на перевірку] | [очікує на перевірку] |
Вилучено вміст Додано вміст
→Література: Додав Фіхтенгольц.укр |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
Кажуть, що функція ''f'' означена на [[опукла множина|опуклій підмножині]] [[дійсні числа|дійсного]] [[векторний простір|векторного простору]] і така, що приймає додатні значення '''логарифмічно опукла''' чи '''суперопукла'''<ref>Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.</ref> якщо <math>{\log}\circ f</math>, [[Композиція функцій|композиція]] логарифмічної функції з ''f'', це — [[опукла функція]]. [[Логарифмічне зростання|Логарифм дуже сповільнює зростання]] початкової функції <math>f</math>, отже якщо композиція зберігає властивість опуклості, то це повинно означати, що початкова функція <math>f</math> була 'дійсно опуклою', звідси термін суперопукла.
Логарифмічно опукла функція ''f'' — це опукла функція, бо це композиція висхідної функція <math>\exp</math> і функції <math>\log\circ f</math>, яка опукла за припущенням. Зворотнє твердження не завжди істинно: наприклад, <math>g: x\mapsto x^2</math> — опукла, але <math>{\log}\circ g: x\mapsto \log x^2 = 2 \log |x|</math> — ні і тому <math>g</math> не логарифмічно опукла. З іншого боку, <math>x\mapsto e^{x^2}</math> — логарифмічно опукла, бо <math>x\mapsto \log e^{x^2} = x^2</math> — опукла. Важливим прикладом логарифмічно опуклої функції є [[гамма-функція]] на множині [[Додатне число|додатних]] дійсних чисел.
| |||