Коефіцієнт Джині

Коефіціє́нт Джи́ні — показник нерівності розподілу деякої величини, що приймає значення між 0 і 1, де 0 означає абсолютну рівність (величина приймає лише одне значення), а 1 позначає повну нерівність. Найбільш відомим коефіцієнт є як міра нерівності доходів домогосподарств деякої країни чи регіону. Коефіцієнт Джині для доходів домогосподарств є найпопулярнішим показником економічної нерівності в країні.

Коефіцієнт Джині розподілу доходу для країн світу (згідно з даними 2009 року)

Визначення

Графічне представлення коефіціє́нту Джи́ні

Коефіцієнт Джині найпростіше визначити за допомогою кривої Лоренца, що зображує частку величини y, що зосереджується на x% популяції з найменшим значенням цієї величини. Наприклад для розподілу доходів точка (20%, 10%) буде лежати на кривій Лоренца, якщо сукупний дохід двадцяти найбідніших домогосподарств рівний десяти процентам сукупного доходу усіх домогосподарств. Коефіцієнт Джині рівний відношенню площі області утвореної кривою Лоренца і прямою повної рівності (прямою під кутом 45°) до площі трикутника утвореного прямою повної рівності і прямими y = 0 x = 1. На малюнку перша область позначена сірим кольором, трикутник є об'єднанням фігур сірого і синього кольорів. Якщо позначити площі відповідних фігур 'A' і 'B' то можна записати формулу G=A/(A+B). Оскільки A+B = 0,5 то також справедлива формула G = 2· A = 1 — 2 · B.

Якщо весь дохід є рівномірно розподілений то крива Лоренца збігається з прямою повної рівності і значення коефіцієнта Джині рівне нулю.

Обчислення

Якщо крива Лоренца задана у виді функції Y = L(X), то користуючись формулою G = 1 — 2 · B і визначенням площі фігури через інтеграл можна записати:

$G=1-2\,\int _{0}^{1}L(X)dX.$

В багатьох випадках можна обчислити коефіцієнт Джині без прямого визначення кривої Лоренца. Наприклад якщо для деякої генеральної сукупності елементів відомі значення величини y_i, i = 1 to n, причому (y_i ≤ y_i+1) то для обчислення коефіцієнта Джині можна використати формулу:

$G={\frac {1}{n}}\left(n+1-2\left({\frac {\Sigma _{i=1}^{n}\;(n+1-i)y_{i}}{\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}}}\right)\right)$

Або простіше:

$G={\frac {2\Sigma _{i=1}^{n}\;iy_{i}}{n\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}}}-{\frac {n+1}{n}}$

• Для дискретного розподілу з функцією ймовірностей f(y), де y_i, i = 1 до n — точки з ненульовою ймовірністю, такі що (y_i < y_i+1) індекс Джині можна визначити за формулою:

$G=1-{\frac {\Sigma _{i=1}^{n}\;f(y_{i})(S_{i-1}+S_{i})}{S_{n}}}$

де

$S_{i}=\Sigma _{j=1}^{i}\;f(y_{j})\,y_{j}\,$ and $S_{0}=0\,$

• Для неперервного розподілу з кусково-диференційовною функцією розподілу F(y) рівною нулю для від'ємних значень, і скінченним середнім значенням μ коефіцієнт Джині рівний:

$G=1-{\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }(1-F(y))^{2}dy={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }F(y)(1-F(y))dy$

Часто проте точний вид кривої Лоренца не є відомим і доступною є лише інформація про частку Y_k розподілу величини Y для частки X_k значень з найменшими значеннями змінної Y. Наприклад відомо загальна частка сукупного доходу для 10% найбідніших господарств, 20% найбідніших господарств і т. д. Тоді коефіцієнт Джині можна наближено обчислити за формулою Брауна:

$G=1-\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-X_{k-1})(Y_{k}+Y_{k-1}).$

Коефіцієнт Джині в країнах ЄС

Європейська статистична організація Євростат публікує щороку коефіцієнт Джині для кожної країни-члена ЄС. Наступна таблиця показує рейтинг на 2012 рік (для окремих країн були використані дані за 2011 рік).

Місце	Країна	Індекс Джині
1	Словаччина	24,2
2	Словенія	24,4
3	Чехія	24,6
4	Швеція	24,9
5	Бельгія	25
6	Нідерланди	25,1
7	Фінляндія	25,4
8	Австрія	27
9	Данія	27,5
10	Мальта	27,9
11	Угорщина	28
12	Німеччина	29,7
13	Ірландія	30
14	Франція	30,1
15	Велика Британія	30,2
16	Люксембург	30,4
17	Польща	30,7
18	Хорватія	30,9
19	Кіпр	32,4
20	Італія	32,5
21	Естонія	32,9
22	Іспанія	33,7
23	Румунія	34
24	Португалія	34,2
25	Греція	34,4
26	Литва	34,6
27	Латвія	35,2
28	Болгарія	35,4

Література

• Рождєственська Л. Г. Статистика ринку товарів і послуг: Навч. посіб. — К.: КНЕУ, 2005. — 419 с. ISBN 966-574-691-Х