Коефіцієнт Джині

Коефіціє́нт Джи́ні — показник нерівності розподілу деякої величини, що приймає значення між 0 і 1, де 0 означає абсолютну рівність (величина приймає лише одне значення), а 1 позначає повну нерівність. Найбільш відомим коефіцієнт є як міра нерівності доходів домогосподарств деякої країни чи регіону. Коефіцієнт Джині для доходів домогосподарств є найпопулярнішим показником економічної нерівності в країні.

Коефіцієнт Джині розподілу доходу для країн світу (згідно з даними 2009 року)

Визначення

Графічне представлення коефіціє́нту Джи́ні

Коефіцієнт Джині найпростіше визначити за допомогою кривої Лоренца, що зображує частку величини y, що зосереджується на x% популяції з найменшим значенням цієї величини. Наприклад для розподілу доходів точка (20%, 10%) буде лежати на кривій Лоренца, якщо сукупний дохід двадцяти найбідніших домогосподарств рівний десяти процентам сукупного доходу усіх домогосподарств. Коефіцієнт Джині рівний відношенню площі області утвореної кривою Лоренца і прямою повної рівності (прямою під кутом 45°) до площі трикутника утвореного прямою повної рівності і прямими y = 0 x = 1. На малюнку перша область позначена сірим кольором, трикутник є об'єднанням фігур сірого і синього кольорів. Якщо позначити площі відповідних фігур 'A' і 'B' то можна записати формулу G=A/(A+B). Оскільки A+B = 0,5 то також справедлива формула G = 2· A = 1 — 2 · B.

Якщо весь дохід є рівномірно розподілений то крива Лоренца збігається з прямою повної рівності і значення коефіцієнта Джині рівне нулю.

Обчислення

Якщо крива Лоренца задана у виді функції Y = L(X), то користуючись формулою G = 1 — 2 · B і визначенням площі фігури через інтеграл можна записати:

$G=1-2\,\int _{0}^{1}L(X)dX.$

В багатьох випадках можна обчислити коефіцієнт Джині без прямого визначення кривої Лоренца. Наприклад якщо для деякої генеральної сукупності елементів відомі значення величини y_i, i = 1 to n, причому (y_i ≤ y_i+1) то для обчислення коефіцієнта Джині можна використати формулу:

$G={\frac {1}{n}}\left(n+1-2\left({\frac {\Sigma _{i=1}^{n}\;(n+1-i)y_{i}}{\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}}}\right)\right)$

Або простіше:

$G={\frac {2\Sigma _{i=1}^{n}\;iy_{i}}{n\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}}}-{\frac {n+1}{n}}$

• Для дискретного розподілу з функцією ймовірностей f(y), де y_i, i = 1 до n — точки з ненульовою ймовірністю, такі що (y_i < y_i+1) індекс Джині можна визначити за формулою:

$G=1-{\frac {\Sigma _{i=1}^{n}\;f(y_{i})(S_{i-1}+S_{i})}{S_{n}}}$

де

$S_{i}=\Sigma _{j=1}^{i}\;f(y_{j})\,y_{j}\,$ and $S_{0}=0\,$

• Для неперервного розподілу з кусково-диференційовною функцією розподілу F(y) рівною нулю для від'ємних значень, і скінченним середнім значенням μ коефіцієнт Джині рівний:

$G=1-{\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }(1-F(y))^{2}dy={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }F(y)(1-F(y))dy$

Часто проте точний вид кривої Лоренца не є відомим і доступною є лише інформація про частку Y_k розподілу величини Y для частки X_k значень з найменшими значеннями змінної Y. Наприклад відомо загальна частка сукупного доходу для 10% найбідніших господарств, 20% найбідніших господарств і т. д. Тоді коефіцієнт Джині можна наближено обчислити за формулою Брауна:

$G=1-\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-X_{k-1})(Y_{k}+Y_{k-1}).$

Коефіцієнт Джині в країнах ЄС

Європейська статистична організація Євростат публікує щороку коефіцієнт Джині для кожної країни-члена ЄС. Наступна таблиця показує рейтинг на 2012 рік (для окремих країн були використані дані за 2011 рік).

Місце	Країна	Індекс Джині
1	Словаччина	24,2
2	Словенія	24,4
3	Чехія	24,6
4	Швеція	24,9
5	Бельгія	25
6	Нідерланди	25,1
7	Фінляндія	25,4
8	Австрія	27
9	Данія	27,5
10	Мальта	27,9
11	Угорщина	28
12	Німеччина	29,7
13	Ірландія	30
14	Франція	30,1
15	Велика Британія	30,2
16	Люксембург	30,4
17	Польща	30,7
18	Хорватія	30,9
19	Кіпр	32,4
20	Італія	32,5
21	Естонія	32,9
22	Іспанія	33,7
23	Румунія	34
24	Португалія	34,2
25	Греція	34,4
26	Литва	34,6
27	Латвія	35,2
28	Болгарія	35,4

Коефіцієнт Джині в деяких країнах по всьому світу

Організація розвитку ООН ПРООН публікує огляди розподілу доходів у більшості країн світу (де дані надходять від Світового банку). Наступна таблиця є джерелом видання Організації Об'єднаних Націй в 2005 році (дані з окремих країн наведені в період 1989-2002 рр)

Місце	Країна	Індекс Джині, %	Відношення найбагатших 10% до найбідніших 10%	Відношення найбагатших 20% до найбідніших 20%	Рік
1	Данія	24.7	8.1	4.3	1997
2	Японія	24.9	4.5	3.4	1993
3	Швеція	25	6.2	4	2000
4	Бельгія	25	7.8	4.5	1996
5	Чехія	25.4	5.2	3.5	1996
6	Норвегія	25.8	6.1	3.9	2000
7	Словаччина	25.8	6.7	4	1996
8	Боснія і Герцоговина	26.2	5.4	3.8	2001
9	Узбекистан	26.8	6.1	4	2000
10	Фінлянцдія	26.9	5.6	3.8	2000
12	Україна	28.1	5.9	4.1	2006
14	Німеччина	28.3	6.9	4.3	2000
20	Єфіопія	30	6.6	4.3	1999
21	Румунія	30.3	8.1	5.2	2002
25	Росія	31	7.1	4.8	2002
34	Франція	32.7	9.1	5.6	1995
46	Австралія	35.2	12.5	7	1994
51	Велика Британія	36	13.8	7.2	1999
52	Італія	36	11.6	6.5	2000
53	Нова Зеландія	36.2	12.5	6.8	1997
54	Йорданія	36.4	9.1	5.9	1997
74	США	40.8	15.9	8.4	2000
89	КНР	44.7	18.4	10.7	2001
106	Аргентина	52.2	39.1	18.1	2001
121	Сьєрра-Леоне	62.9	87.2	57.6	1989
122	Ботсвана	63	77.6	31.5	1993
123	Лесото	63.2	105	44.2	1995
124	Намібія	70.7	128.8	56.1	1993

Література

• Рождєственська Л. Г. Статистика ринку товарів і послуг: Навч. посіб. — К.: КНЕУ, 2005. — 419 с. ISBN 966-574-691-Х