Векторне числення

Векторне числення — область математичного аналізу, в якій вивчаються скалярні і векторні поля.

Основною теоремою векторного числення є Теорема Стокса.

Багато результатів векторного числення можуть бути представлені як часткові випадки диференціальної геометрії.

Базові поняття

Скалярне поле

Скалярне поле пов'язує скалярне значення до кожної точки в просторі. Скаляром може бути як математичне число так і фізична величина. Прикладом скалярних полів в типових застосуваннях є розподілення температури в просторі, розповсюдження тиску в рідині, або спін-нульові квантові поля, такі як Бозон Хіггса. Ці поля є предметом вивчення теорії скалярного поля.

Векторне поле

Векторне поле пов'язує вектор до кожної точки з підмножини простору. Векторне поле на площині, як приклад, можна зобразити як набір стрілок із заданою величиною і напрямом, що прив'язані до окремих точок на площині. Векторні поля часто використовуються для моделювання, наприклад, напряму і швидкості руху рідини в просторі, або сили і напрямку дії деякої сили, такої як магнітна або гравітаційнасила, і того як вони змінюються від точки до точки.

Вектори і псевдовектори

У більш складних випадках, розрізняють псевдовекторні поля і псевдоскалярні поля, що є ідентичними до векторних і скалярним полів, замість того, що вони змінюють свій знак відповідно до мапи перевертання орієнтації: наприклад, ротор векторного поля є псевдовекторним полем, і якщо хтось відображає векторне поле, ротор вказує в протилежному напряму. Ці відмінності детально вивчаються в геометричній алгебрі.

Векторна алгебра

Алгебраїчні (не диференційні) операції над векторами називаються векторною алгеброю, яка визначається для векторного простору і застосовується для векторного поля. Базовими векторними операціями є наступні:

Операція	Позначення	Опис
Додавання векторів	${\mathbf {v}}_{1}+{\mathbf {v}}_{2}$	Додавання двох векторних полів, в результаті дає векторне поле.
Множення на скаляр	$a{\mathbf {v}}$	Множення скалярного поля на векторне поле, дає результатом векторне поле.
Скалярний добуток	${\mathbf {v}}_{1}\cdot {\mathbf {v}}_{2}$	Множення двох векторних полів має результатом скалярне поле.
Векторний добуток	${\mathbf {v}}_{1}\times {\mathbf {v}}_{2}$	Множення двох векторних полів в $\mathbb {R} ^{3}$, породжує (псевдо)векторне поле.

Також використовуються два мішаних добутки:

Операція	Позначення	Опис
Скалярний мішаний добуток	${\mathbf {v}}_{1}\cdot \left({\mathbf {v}}_{2}\times {\mathbf {v}}_{3}\right)$	Скалярний добуток вектора на векторний добуток двох векторів.
Векторний мішаний добуток	${\mathbf {v}}_{1}\times \left({\mathbf {v}}_{2}\times {\mathbf {v}}_{3}\right)$	Векторний добуток вектора на скалярний добуток двох векторів.

Основні операції над полями

• Градієнт
• Дивергенція
• Ротор
• Оператор Лапласа
• Потік вектора
• Циркуляція вектора

Основні формули векторного числення

Для довільних векторних полів $\mathbf {a}$ та $\mathbf {b}$ і довільних склярних полів $\varphi$ та $\xi$

• ${\text{rot}}\;\nabla \varphi =0$
• ${\text{div}}\;{\text{rot}}\;\mathbf {a} =0$
• ${\text{rot}}\;{\text{rot}}\;\mathbf {a} =\nabla {\text{div}}\;\mathbf {a} -\Delta \mathbf {a}$
• $\nabla (\varphi \xi )=\varphi \nabla \xi +\xi \nabla \varphi$
• ${\text{div}}\;(\varphi \mathbf {a} )=\varphi {\text{div}}\;\mathbf {a} +\mathbf {a} \cdot \nabla \varphi$
• ${\text{rot}}\;(\varphi \mathbf {a} )=\varphi {\text{rot}}\;\mathbf {a} +[\nabla \varphi \times \mathbf {a} ]$
• ${\text{div}}\;[\mathbf {a} \times \mathbf {b} ]=\mathbf {b} \cdot {\text{rot}}\;\mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot {\text{rot}}\;\mathbf {b}$
• $\nabla (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(\mathbf {a} \cdot \nabla )\mathbf {b} +(\mathbf {b} \cdot \nabla \mathbf {a} )+[\mathbf {a} \times {\text{rot}}\;\mathbf {b} ]+[\mathbf {b} \times {\text{rot}}\;\mathbf {a} ]$
• ${\text{rot}}\;[\mathbf {a} \times \mathbf {b} ]=(\mathbf {b} \cdot \nabla )\mathbf {a} -(\mathbf {a} \nabla )\mathbf {b} +\mathbf {a} {\text{div}}\;\mathbf {b} -\mathbf {b} {\text{div}}\;\mathbf {a}$