Відкрита множина

Відкри́та множина́ — в математичному аналізі, геометрії — це множина, кожна точка якої входить в неї разом з деяким околом. Відкрита множина є фундаментальним поняттям загальної топології.

Евкідовий простір

Підмножина евклідового простору $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ називається відкритою, якщо:

$\forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0:\;\;V_{\varepsilon }(x_{0})\subset U,$ де $V_{\varepsilon }(x_{0})\equiv \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \}$ — ε-окіл точки $\ x_{0}.$

Іншими словами, множина є відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою.

Метричний простір

Якщо $\ (X,\rho )$ — деякий метричний простір, і $U\subset X$. Тоді $\ U$ є відкритою, якщо:

$\forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0:\;\;V_{\varepsilon }(x_{0})\subset U$, де $V_{\varepsilon }(x_{0})\equiv \{x\in X:\rho (x,x_{0})<\varepsilon \}$ — ε-окіл точки $\ x_{0}$ відносно метрики $\ \rho$.

Топологічний простір

Якщо $(X,{\mathcal {T}})$ — топологічний простір, де ${\mathcal {T}}$ — топологія, визначена на $\ X$. Тоді за визначенням топологічного простору будь-яка подмножина $U\subset X$, що є елементом топології, тобто $U\in {\mathcal {T}}$, буде відкритою множиною відносно цієї топології.

Дивись також

• Замкнута множина