Розмірність Гаусдорфа
Розмірність Хаусдорфа — розмірність множини (в метричному просторі) дорівнює , де — мінімальне число множин діаметру , якими можна покрити множину. Розмірність Хаусдорфа не визначена для необмежених множин. Навіть для обмежених множин деяке може дорівнювати нескінченності.
Розмірність Хаусдорфа
Розмірність Хаусдорфа — природний спосіб визначати розмірність множини у метричному просторі. Для багатьох випадків розмірність Хаусдорфа співпадає з топологічною розмірністю (розмірністю Лебега). Наприклад, у тривимірному евклідовому просторі Хаусдорфова розмірність скінченної множини дорівнює нулеві, розмірність гладкої кривої — одиниці, розмірність гладкої поверхні — двійці і розмірність множини додатнього об’єму — трьом. Для фрактальних множин розмірність Хаусдорфа може набувати дробових значень.
Означення
Визначення розмірності Хаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай — обмежена множина у метричному просторі . Наприклад, нехай .
-покриття
Нехай . Не більш ніж зліченну сім’ю підмножин простору будемо називати -покриттям множини , якщо виконуються наступні дві властивості:
ρ-міра Хаусдорфа
Нехай . Нехай — покриття множини . Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: . Позначимо через «мінімальний розмір» -покриття множини : , де инфимум береться по всім -покриттях множини . Очевидно, що функція убуває по . Отже, у неї є кінцева або нескінченна межа при : . Величина називається -мірою Хаусдорфа множини .
Властивості ρ-міри Хаусдорфа
- -міра Хаусдорфа є борелевской мерой на .
- з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Хаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Хаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; - міра Хаусдорфа безлічей у збігається з їхній -мірним обсягом.
- убуває по . Більш того для будь-якої множини існує критичне значення , таке, що:
- для всіх
- для всіх Значення може бути нульовим, кінцев або нескінченним.
Визначення розмірності Хаусдорфа
Розмірністю Хаусдорфа множини називається число з попереднього пункту.
Властивості розмірності Хаусдорфа
- Розмірність Хаусдорфа будь-якої множини не перевершує нижня і верхньої размерностей Минковского.
- Розмірність Хаусдорфа не більш ніж рахункового об'єднання безлічей дорівнює максимумові з їх размерностей. Зокрема, додавання счетного множини до будь-якої множини не змінює його розмірності.
- Для самоподібних безлічей розмірність Хаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально говорячи, якщо безліч розбивається на частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами , те його розмірність є рішенням рівняння . Наприклад, розмірність множини Кантора дорівнює (розбивається на двох частин, коефіцієнт подоби 1/3), а розмірність треугольника Серпинского — (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подоби 1/2).
Дивіться також
Література
- Федер Е. (1991). Фракталы. М.: МИР. с. 254. ISBN 5-03-001712-7.
Джерела інформації
Бенуа Мандельброт. Фрактальна геометрія природи.
А. Морозов. Введение в теорию фракталов.
Пайтген Х.О. Рихтер П.Х. Красота фракталов.
Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах
Божокин С.В. Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы.
K.I. Falconez. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7
Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |