Векторне числення

Векторне числення — область математичного аналізу, в якій вивчаються скалярні і векторні поля.

Основною теоремою векторного числення є Теорема Стокса.

Багато результатів векторного числення можуть бути представлені як часткові випадки диференціальної геометрії. Векторне числення відіграє важливу роль у диференційній геометрії і при вивченні диференційних рівнянь з частинними похідними. Воно широго використовується у фізиці і інженерії, особливо при описанні електромагнітних полів, гравітаціних полів і законів гідродинаміки.

Базові поняття

Скалярне поле

Скалярне поле пов'язує скалярне значення до кожної точки в просторі. Скаляром може бути як математичне число так і фізична величина. Прикладом скалярних полів в типових застосуваннях є розподілення температури в просторі, розповсюдження тиску в рідині, або спін-нульові квантові поля, такі як Бозон Хіггса. Ці поля є предметом вивчення теорії скалярного поля.

Векторне поле

Векторне поле пов'язує вектор до кожної точки з підмножини простору. Векторне поле на площині, як приклад, можна зобразити як набір стрілок із заданою величиною і напрямом, що прив'язані до окремих точок на площині. Векторні поля часто використовуються для моделювання, наприклад, напряму і швидкості руху рідини в просторі, або сили і напрямку дії деякої сили, такої як магнітна або гравітаційна сила, і того як вони змінюються від точки до точки.

Вектори і псевдовектори

У більш складних випадках, розрізняють псевдовекторні поля і псевдоскалярні поля, що є ідентичними до векторних і скалярним полів, замість того, що вони змінюють свій знак відповідно до мапи перевертання орієнтації: наприклад, ротор векторного поля є псевдовекторним полем, і якщо хтось відображає векторне поле, ротор вказує в протилежному напряму. Ці відмінності детально вивчаються в геометричній алгебрі.

Векторна алгебра

Алгебраїчні (не диференційні) операції над векторами називаються векторною алгеброю, яка визначається для векторного простору і застосовується для векторного поля. Базовими векторними операціями є наступні:

Операція	Позначення	Опис
Додавання векторів	${\mathbf {v}}_{1}+{\mathbf {v}}_{2}$	Додавання двох векторних полів, в результаті дає векторне поле.
Множення на скаляр	$a{\mathbf {v}}$	Множення скалярного поля на векторне поле, дає результатом векторне поле.
Скалярний добуток	${\mathbf {v}}_{1}\cdot {\mathbf {v}}_{2}$	Множення двох векторних полів має результатом скалярне поле.
Векторний добуток	${\mathbf {v}}_{1}\times {\mathbf {v}}_{2}$	Множення двох векторних полів в $\mathbb {R} ^{3}$, породжує (псевдо)векторне поле.

Також використовуються два мішаних добутки:

Операція	Позначення	Опис
Скалярний мішаний добуток	${\mathbf {v}}_{1}\cdot \left({\mathbf {v}}_{2}\times {\mathbf {v}}_{3}\right)$	Скалярний добуток вектора на векторний добуток двох векторів.
Векторний мішаний добуток	${\mathbf {v}}_{1}\times \left({\mathbf {v}}_{2}\times {\mathbf {v}}_{3}\right)$	Векторний добуток вектора на скалярний добуток двох векторів.

Операції і теореми

Диференційні оператори

Векторне числення вивчає різні диференціальні оператори визначені для скалярного або векторного полів, які зазвичай позначаються оператором Гамільтона ($\nabla$), що також відомий як "набла". Трьома основними векторними операторами є:

Операція	Позначення	Опис	Аналогія позначень	Область/Діапазон
Градієнт	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Вимірює швидкість і напрям зміни скалярного поля.	Множення на скаляр	Зображає скалярні поля у векторні поля.
Дивергенція	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Вимірює скалярну величину джерела векторного поля в даній точці.	Скалярний добуток	Зображає векторні поля у скалярні поля.
Ротор	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	Вимірює тенденцію до обертання довкола точки у векторному полі $\mathbb {R} ^{3}$.	Векторний добуток	Зображає векторні поля у псевдо-векторні поля.
$f$ позначає скалярне поле, а $F$ позначає векторне поле

Також загальновживаними є два оператори Лапласа:

Операція	Позначення	Опис	Область/Діапазон
Оператор Лапласа	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Вимірює різницю між значенням скалярного поля в їх середніх значеннях при нескінченно малих сферах.	Виконує перетворення між скалярними полями.
Векторний оператор лапласа	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	Вимірює різницю між значенням скалярного поля в їх середніх значеннях при нескінченно малих сферах.	Виконує перетворення між векторними полями.
$f$ позначає скалярне поле, а $F$ позначає векторне поле

Величина, що називається Якобіаном є корисною для вивчення функцій, коли коли область і діапазон значень функції є багатомірними, наприклад, при заміні змінних під час інтегрування.

Інтегральні теореми

Три основні векторні оператори мають під собою відповідні теореми, які узагальнюють основну формулу інтегрального числення до більших вимірів:

Теорема	Твердження	Опис
Градієнтна теорема	$\int _{L[\mathbf {p} \to \mathbf {q} ]\subset \mathbb {R} ^{n}}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$	Криволінійний інтеграл градієнта над скалярним полем дорівнює різниці значень скалярного поля у кінцевих точках кривої.
Теорема про дивергенцію	$\underbrace {\int \cdots \int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV=\underbrace {\oint \cdots \oint _{\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$	Інтеграл над дивергенцією векторного поля по n-вимірному тілу дорівнює густині потоку векторного поля через (n − 1)-вимірну замкнену поверхню, що обмежує тіло.
Теорема Кельвіна-Стокса	$\iint _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	Інтеграл по кривій у векторному полі по поверхні в просторі $\mathbb {R} ^{3}$ дорівнює лінійному інтегралу векторного поля по замкненій кривій, що обмежує поверхню.
$\varphi$ позначає скалярне поле, а $F$ позначає векторне поле

У випадку для двох вимірів, теореми про дивергенцію і Кельвіна-Стокса спрощуються до теореми Гріна:

Теорема	Твердження	Опис
Теорема Гріна	$\iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA=\oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	Інтеграл над дивергенцією або кривою у векторному полі по деякій області в $\mathbb {R} ^{2}$ дорівнює густині потоку енергії або лінійному інтегралу у векторному полі по замкненій кривій, що обмежує область.
Для дивергенції, $F=(M,-L)$. Для кривої, $F=(L,M,0)$. L і M є функціями змінних (x, y).

Основні формули векторного числення

Для довільних векторних полів $\mathbf {a}$ та $\mathbf {b}$ і довільних склярних полів $\varphi$ та $\xi$

• ${\text{rot}}\;\nabla \varphi =0$
• ${\text{div}}\;{\text{rot}}\;\mathbf {a} =0$
• ${\text{rot}}\;{\text{rot}}\;\mathbf {a} =\nabla {\text{div}}\;\mathbf {a} -\Delta \mathbf {a}$
• $\nabla (\varphi \xi )=\varphi \nabla \xi +\xi \nabla \varphi$
• ${\text{div}}\;(\varphi \mathbf {a} )=\varphi {\text{div}}\;\mathbf {a} +\mathbf {a} \cdot \nabla \varphi$
• ${\text{rot}}\;(\varphi \mathbf {a} )=\varphi {\text{rot}}\;\mathbf {a} +[\nabla \varphi \times \mathbf {a} ]$
• ${\text{div}}\;[\mathbf {a} \times \mathbf {b} ]=\mathbf {b} \cdot {\text{rot}}\;\mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot {\text{rot}}\;\mathbf {b}$
• $\nabla (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(\mathbf {a} \cdot \nabla )\mathbf {b} +(\mathbf {b} \cdot \nabla \mathbf {a} )+[\mathbf {a} \times {\text{rot}}\;\mathbf {b} ]+[\mathbf {b} \times {\text{rot}}\;\mathbf {a} ]$
• ${\text{rot}}\;[\mathbf {a} \times \mathbf {b} ]=(\mathbf {b} \cdot \nabla )\mathbf {a} -(\mathbf {a} \nabla )\mathbf {b} +\mathbf {a} {\text{div}}\;\mathbf {b} -\mathbf {b} {\text{div}}\;\mathbf {a}$