Теорія ймовірностей
Тео́рія імові́рності[1] — розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості й операції над ними. Математичні моделі в теорії ймовірності описують з деяким ступенем точності випробування (експерименти, спостереження, вимірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування.
Математичним апаратом теорії ймовірності є комбінаторика та теорія міри.
Теорія ймовірностей виникла і спершу розвивалася як прикладна дисципліна (зокрема, для розрахунків в азартних іграх). Пов’язана з іменами Х.Гюйґенса, Б.Паскаля, П.Ферма. Своїм теоретичним обґрунтуванням зобов’язана Я.Бернуллі, П.Лапласу, П.Л.Чебишову, А.М.Ляпунову.[2][3][4] Систему аксіом теорії ймовірностей сформулював А.М.Колмогоров.[5] Теорія ймовірностей є підґрунтям математичної статистики. Широко вживається для опису й вивчення різноманітних технологічних процесів зважаючи на їх стохастичність.
Історія
Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середньовіччя і перших спроб математичного аналізу азартних ігор. Спочатку її основні поняття не мали строго математичного вигляду, до них можна було ставитися як до емпіричних фактів, властивостей реальних подій, і формулювалися вони в наочних уявленнях. Найперші наукові праці в галузі теорії ймовірностей належать до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірнісні залежності, що виникають під час кидання гральних кубиків.
Вважають, що вперше Паскаль взявся за теорію ймовірностей під впливом питань, поставлених перед ним одним з придворних французького двору Шевальє де Мере (1607-1648), що був азартним гравцем, але гра для нього теж була приводом для досить глибоких роздумів. Де Мере запропонував Паскалю два відомі питання, перше з яких він спробував вирішити сам. Питання були такими:[6]
1. Скільки разів треба кинути два гральних кубика, щоб випадків випадання відразу двох шісток було більше половини від загальної кількості кидків?
2. Як справедливо розділити поставлені двома гравцями гроші, якщо вони з якихось причин припинили гру передчасно?
Ці задачі обговорювалися в листуванні Б. Паскаля і П. Ферма (1601-1665) і послужили приводом для запровадження поняття математичного сподівання, і спроб формулювання основних теорем додавання й добутку ймовірностей. Під впливом поставлених і розглянутих питань вирішенням тих же задач зайнявся Християн Гюйгенс. Він не був знайомий із листуванням Паскаля та Ферма, тому методику розв'язку винайшов самостійно. Його працю, в якій запроваджено основні поняття теорії ймовірностей (поняття ймовірності як величини шансу; математичне сподівання для дискретних випадків, у вигляді ціни шансу), а також використані теореми додавання і множення ймовірностей (не сформульовані явно), було надруковано 1657 року, на двадцять років раніше листів Паскаля і Ферма (1679 рік).
Справжню наукову основу теорії ймовірностей заклав великий математик Якоб Бернуллі (1654-1705). Його праця «Мистецтва припущень» стала першим ґрунтовним трактатом з теорії ймовірностей. Вона містила загальну теорію перестановок і поєднань. А сформульований Бернуллі закон великих чисел дав можливість встановити зв'язок між імовірністю будь-якої випадкової події та частотою її появи, яка спостерігається безпосередньо з досвіду. У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу похибок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття значний доробок зробили російські вчені: П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. Тоді було доведено закон великих чисел, центральну граничну теорему, а також розроблено теорію ланцюгів Маркова. Сучасного вигляду теорія ймовірностей набула завдяки аксіоматизації, яку запропонував Андрій Миколайович Колмогоров.[7]
Значний внесок в теорію ймовірностей зробив українсько-російський математик, академік НАН України, директор Інституту математики НАНУ, лауреат премії імені П. Чебишева Гнєденко Борис Володимирович. Йому вдалося довести в остаточному формулюванні локальну граничну теорему для незалежних, однаково розподілених гратчастих доданків (1948 р.). В Україні він почав дослідження непараметричних методів статистики, закінчив роботу над підручником «Курс теорії ймовірностей»[8] (перше видання — 1949 р.) і монографією «Граничні розподіли для сум незалежних випадкових величин».
Врешті-решт теорія ймовірностей набула чіткого математичного вигляду й остаточно стала сприйматися як один з розділів математики.
Основні положення
Під випробуванням мається на увазі здійснення запланованих дій і отримання результату за виконання певного комплексу умов S. При цьому припускається, що ці умови є фіксованими; вони або об'єктивно існують, або створюються штучно й можуть бути відтворені необмежену кількість разів.
Прикладами випробування: виготовлення деталі або виробу, кидання монети або грального кубика, розігрування лотереї, проведення аукціону.
Предметом дослідження теорії ймовірності є особливі залежності, притаманні результатам масових однорідних (для яких зберігається комплекс умов S) випробувань. При цьому досліджуються випробування, які характеризуються статистичною регулярністю, хоча наслідки випробувань у кожному випадку можуть бути різними.
Результатом випробування є подія. Події поділяються на: достовірні/правдиві (однозначно відбудуться) та неможливі, сумісні та несумісні, еквівалентні/тотожні та протилежні. Позначаються великими латинськими літерами, наприклад, А, B, С.
Основні об'єкти дослідження теорії ймовірностей:
- випадкова подія та її ймовірність;
- випадкова величина та її функція розподілу;
- випадковий процес та його ймовірнісна характеристика.
Поняття події краще розглядати в теоретико-множинному контексті.[кому?]
Приклад
Нехай події Ai, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) полягають у тому, що при одному киданні грального кубика випало очок ; подія А - парна кількість очок. Тоді подія А є множиною подій, елементами якої є події A2, A4, A6, тобто A = {A2, A4, A6}. Якщо при реалізації такої сукупності умов S відбулася одна з подій A2, A4, A6, то це означає, що відбулася подія А (випала парна кількість очок). Отже події A2, A4, A6 є реалізаціями, проявами події А.
Дискретні розподіли ймовірностей
Дискретна теорія ймовірностей розглядає події, які виникають у зліченних просторах подій.
Наприклад: кидання гральних кісточок, експерименти із колодою карт, випадкове блукання, і підкидання монет
Класичне визначення: Спочатку ймовірність події визначали як кількість випадків, у яких може трапитися подія, із загальної кількості можливих випадків у рівноймовірнісному просторі подій: див. класичне визначення ймовірності.
Наприклад, якщо подією є те, «що при киданні гральної кістки випаде парне число», то ймовірність становитиме , оскільки 3 грані з 6 мають нанесені на них парні числа, і кожна грань має однакову ймовірність випадання.
Сучасне визначення: Сучасне визначення починається зі скінченної або зліченної множини, що називають простором елементарних подій, яка відповідає множині всіх можливих випадків у класичному розумінні, і яку позначають через . Тоді вважають, що кожному елементові відповідає істинне значення «ймовірності» , яке задовольняє наступним властивостям:
Таким чином, функція ймовірностей набуває значень між нулем та одиницею для кожного значення у просторі подій , а сума за всіма значеннями у просторі подій дорівнює 1. Випадкова подія визначається як будь-яка підмножина простору елементарних подій . Ймовірність події визначають як
Таким чином, ймовірність повного простору подій дорівнює 1, а ймовірність нульової події дорівнює 0.
Функцію , що відображає точку в просторі подій на значення «ймовірності», називають функцією маси ймовірності, скорочено ФМІ. Сучасне визначення не намагається дати відповідь, як отримувати функції маси імовірності; натомість, воно вибудовує теорію, яка передбачає їхнє існування.
Неперервні розподіли ймовірностей
Неперервна теорія ймовірностей вивчає випадки, що виникають у неперервному просторі подій.
Класичне визначення: При стиканні з неперервним випадком класичне визначення не вибудовується. Див. парадокс Бертрана.
Сучасне визначення: Якщо вихідний простір випадкової величини X є множиною дійсних чисел ( ) або її підмножиною, то існує функція, що називають кумулятивною функцією розподілу ймовірностей (КФР) , і визначають як . Функція F(x) повертає значення ймовірності, що відповідає тому що величина X є меншою або рівною x.
КФР обов'язково задовольняє наступним властивостям:
- є монотонною не спадною, рівномірно неперервною функцією;
Якщо є абсолютно неперервною, тобто, існує її похідна, а інтегрування її похідної функції знову дає КФР, то кажуть, що випадкова величина X має функцію густини імовірності, або ФГІ, або просто густину
Для множини ймовірність того, що значення випадкової величини X знаходиться в , дорівнює
У випадку існування функції густини це можливо записати як
В той час як ФГІ існує лише для неперервних випадкових величин, КФР існує для всіх випадкових величин (в тому числі й для дискретних), що набувають значень в
Ці поняття можливо узагальнити й для багатовимірних випадків у просторі та інших неперервних просторів подій.
Теми теорії ймовірностей
Особливість теорії ймовірностей
- У теорії ймовірностей випадкову змінну вважають відомою. [9]
Ця особливість відрізняє предмет і методи теорії ймовірностей від предмету і методів математичної статистики, де випадкову змінну досліджують після одержання статистичного матеріалу.
Див. також
Примітки
- ↑ Імовірність // Словник української мови : в 11 т. — Київ : Наукова думка, 1970—1980.
- ↑ Hald, Anders (2003). A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 0-471-47129-1. (англ.)
- ↑ Hald, Anders (1998). A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930. New York: Wiley. ISBN 0-471-17912-4. (англ.)
- ↑ Гнєденко Б. В. Нарис з історії теорії ймовірностей // Курс теорії ймовірностей. — К.: Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет", 2010. — 464с. С. 351—428.
- ↑ Колмогоров, А. Н. «Основные понятия теории вероятностей», М.: Наука, 1974 (рос.)
- ↑ Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. — Изд. 3-е. — М.: Наука, 1984. — 285 с.
- ↑ Колмогоров, А. Н. «Основные понятия теории вероятностей», М.: Наука, 1974 (рос.)
- ↑ Гнєденко Б.В. Курс теорії ймовірностей. — К.: ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
- ↑ Сеньо П.С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Підручник. — 2-ге вид., перероб. і доп. — К.: Знання, 2007. — С. 291.
Література
- Теорія ймовірностей, математична статистика та імовірнісні процеси : навч. посіб. / Ю. М. Слюсарчук, Й. Я. Хром'як, Л. Л. Джавала, В. М. Цимбал ; М-во освіти і науки України, Нац. ун-т "Львів. політехніка". – Львів : Вид-во Львів. політехніки, 2015. – 364 с. : іл. – Бібліогр.: с. 351 (10 назв). – ISBN 978-617-607-775-6
- Сеньо П.С. Теорія ймовірностей та математична статистика. — 2-ге вид. — Київ: Знання, 2007. — 556 с.
- Барковський В.В. Теорія ймовірностей та математична статистика. 5-те видання. — Київ: Центр учбової літератури, 2010. — 424 с.
- Жлуктенко В. І. Теорія ймовірностей і математичниа статистика. У 2 ч. — Ч. І. Теорія ймовірностей. — К.: КНЕУ, 2000. — 304 с.
- Жлуктенко В. І. Теорія ймовірностей і математичниа статистика. У 2 ч. — Ч. II. Математична статистика. — К.: КНЕУ, 2001. — 336 с.
- Гнєденко Б.В. Курс теорії ймовірностей. — К.: ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
- Дороговцев А.Я Збірник задач з теорії ймовірностей. — К.: Вища школа, 1976. — 384 с.
- Каленюк П.І. та ін. Теорія ймовірностей і математична статистика. - Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка", 2005. - 240 с.
- Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика. Посібник з розвязання задач. — К.: Центр учбової літератури, 2007. — 576 с.
- Донченко В. С., Сидоров М. В.-С., Шарапов М. М. Теорія ймовірностей та математична статистика. — Альма-матер. — Київ : «Академія», 2009. — 288 с. — ISBN 978-966-580-297-6.
- Скасків О.Б. Теорія ймовірностей. — Київ : «І. Е. Чижиков», 2012. — 142 с. — ISBN 978-966-2645-05-7.
- Вступ до нестандартної теорії ймовірностей : Тексти лекцій / В. Лянце, Г. Чуйко; Львів. нац. ун-т ім. І. Франка. - Л., 2002. - 45 c. - Бібліогр.: 9 назв.
Посилання
- Ймові́рностей Тео́рія // ЕСУ.
- Кафедра теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка
- Кафедра математичного аналізу та теорії ймовірностей Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут»
- Теорія ймовірностей на сайті Жернового Ю. В.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |