Розмірність Гаусдорфа

Перевірена версія цієї сторінки, затверджена 22 липня 2023, заснована на цій версії.

Розмірність Гаусдорфа — розмірність множини (в метричному просторі) дорівнює $\liminf \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(\rho (n))}{\ln(n)}}$ , де $\rho (n)$ — мінімальне число множин діаметра $1/n$ , якими можна покрити множину. Розмірність Гаусдорфа не визначена для необмежених множин. Навіть для обмежених множин деяке $\rho (n)$ може дорівнювати нескінченності.

Розмірність Гаусдорфа — природний спосіб визначати розмірність множини у метричному просторі. Для багатьох випадків розмірність Гаусдорфа рівна топологічній розмірності (розмірності Лебега). Розмірність Гаусдорфа належить до математичних концепцій, введених в 1918 р. математиком Феліксом Гаусдорфом, і служить мірою локального розміру набору чисел (тобто «простір»), беручи до уваги відстань між кожним з її елементів (тобто, «точки» в «просторі»). Застосування цих математичних формулювань передбачає, що розмірність Гаусдорфа з однієї точки дорівнює 0, з лінії – 1, з квадрата – 2, з куба – 3. Тобто, для множини точок, які визначають рівні форми, або форми, які мають невелику кількість кутів – форм, які належать до традиційної геометрії та наукової розмірності Гаусдорфа. Тим не менш, були розробленні формулювання, які дозволяють розрахувати розмірності для інших, менш простих об’єктів, виключно на основі своїх властивостей масштабування і самоподібності, тому можна зробити висновок, що окремі об’єкти, в тому числі фракталі – є дробовими розмінностями Гаусдорфа. Завдяки значним технічним досягненням, зроблених Абрамом Самойловичем Безиковичем, що дозволяють розрахувати розміри для високо нерегулярних наборів, цей аспект також, зазвичай, називають розмірністю Гаусдорфа – Безиковича.

Розмірність Гаусдорфа, має подальший розмірний ряд, пов'язаний з даним набором чисел, де відстані між усіма членами цього набору будуть визначатися. Набір, який забезпечує розмірність Гаусдорфа називається розширеним дійсним числом, R, і набір цифр, де відстані між усіма членами називається матричним простором. Отже, розмірність Гаусдорфа є невід’ємним дійсним числом (R≥0), пов’язаним з будь – яким матричним простором.

У математичній термінології, розмірність Гаусдорфа узагальнює поняття розмірності дійсного векторного простору. Тобто, розмірність Гаусдорфа внутрішнього простору n - мірного продукту дорівнює n. Це лежить в основі раніше викладеного, що розмірність Гаусдорфа для точки дорівнює 0, для лінії – 1 і т.д., і що фрактальні множини можуть мати дробову розмірність Гаусдорфа. Наприклад, крива Коха, що була раніше утворена з рівностороннього трикутника; У кожній ітерації, його складові відрізки поділяються на 3 сегменти одиничної довжини, новостворений середній сегмент використовується як основа, для нового рівностороннього трикутника, точки якого назовні, і цей базовий сегмент потім виділяється. Тобто, після першої ітерації, кожен оригінальний відрізок був замінений N=4, де кожна подібна копія 1/S=1/3. Інакше кажучи, ми взяли об’єкт з евклідовою розмірністю D, а також знизили його лінійну шкалу на 1/3 в кожному напрямку, так що його довжина зростає до N=SD. Це рівняння легко вирішується за D, отримуючи кількісне співвідношення логарифмів, що дає в фрактальних випадках дробову розмірність.

Означення

Означення розмірності Гаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай $M$ — обмежена множина у метричному просторі $X$ . Наприклад, нехай $X=R^{n}$ .

$\delta$ -покриття

Нехай $\delta >0,\delta \in R$ . Не більш ніж зліченну сім'ю $\{U_{i}\}_{i\in I}$ підмножин простору $X$ будемо називати $\delta$ -покриттям множини $M$ , якщо виконуються такі дві властивості:

$M\subset \bigcup _{i\in I}U_{i}$
для всіх $i\in I$ діаметр ${\text{diam }}U_{i}<\delta$ (для всіх $i\in I$ діаметр множин $U_{i}$ менший за $\delta$ .

ρ-міра Гаусдорфа

Нехай $\rho >0$ . Нехай $\Theta =\{U_{i}\}_{i\in I}$ — покриття множини $M$ . Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: $F_{\rho }(\Theta ):=\sum \limits _{i\in I}(\operatorname {diam} \,U_{i})^{\rho }$ . Позначимо через $M_{\rho }^{\delta }(M)$ «мінімальний розмір» ${\delta }$ -покриття множини $M$ : $M_{\rho }^{\delta }(M):=\inf(F_{\rho }(\Theta ))$ , де інфімум береться по всіх $\delta$ -покриттях множини $M$ . Очевидно, що функція $M_{\rho }^{\delta }(M)$ спадає по $\delta$ . Отже, у неї є скінченна або нескінченна границя при $\delta \rightarrow 0$ : $M_{\rho }(M)=\lim \limits _{\delta \rightarrow 0+}M_{\rho }^{\delta }(M)$ . Величина $M_{\rho }(M)$ називається $\rho$ -мірою Гаусдорфа множини $M$ .

Властивості ρ-міри Гаусдорфа

$\rho$ -міра Гаусдорфа є борелівською мірою на $X$ .
з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Гаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Гаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; $d$ - міра Гаусдорфа множин у $\mathbb {R} ^{d}$ збігається з їхнім $d$ -мірним об'ємом.
$M_{\rho }(M)$ $M_{\rho }(M)$ спадає по $\rho$ $\rho$ . Більш того для будь-якої множини $M$ $M$ існує критичне значення $\rho _{0}$ $\rho _{0}$ , таке, що:
- $M_{\rho }(M)=0$ для всіх $\rho >\rho _{0}$
- $M_{\rho }(M)=+\infty$ для всіх $\rho <\rho _{0}$ Значення $M_{\rho _{0}}(M)$ може бути нульовим, скінченним або нескінченним.

Визначення розмірності Гаусдорфа

Розмірністю Гаусдорфа множини $M$ називається число $\rho _{0}$ з попереднього пункту.

Властивості розмірності Гаусдорфа

Розмірність Гаусдорфа будь-якої множини не більша за нижню та верхню розмірності Мінковського.
Розмірність Гаусдорфа не більш ніж зліченного об'єднання множин дорівнює максимальній розмірності об'єднаних множин. Зокрема, додавання зліченної множини до будь-якої множини не змінює її розмірності.
Для самоподібних множин розмірність Гаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально, якщо множина розбивається на $n$ частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ , то її розмірність $s$ є розв'язком рівняння $r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1$ . Наприклад, розмірність множини Кантора дорівнює $\ln 2/\ln 3$ (розбивається на дві частини, коефіцієнт подібності 1/3), а розмірність трикутника Серпінського — $\ln 3/\ln 2$ (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подібності 1/2).