Розмірність Гаусдорфа

Розмірність Хаусдорфа — розмірність множини (в метричному просторі) дорівнює $\liminf \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(\rho (n))}{\ln(n)}}$, де $\rho (n)$ — мінімальне число множин діаметру $1/n$, якими можна покрити множину. Розмірність Хаусдорфа не визначена для необмежених множин. Навіть для обмежених множин деяке $\rho (n)$ може дорівнювати нескінченності.

Розмірність Хаусдорфа

Трикутник Серпінського. Простір з фрактальною розмірністю log₂ 3 або ln3/ln2, що прибл. дорівнює 1.585

Розмірність Хаусдорфа — природний спосіб визначати розмірність множини у метричному просторі. Для багатьох випадків розмірність Хаусдорфа співпадає з топологічною розмірністю (розмірністю Лебега). Наприклад, у тривимірному евклідовому просторі Хаусдорфова розмірність скінченної множини дорівнює нулеві, розмірність гладкої кривої — одиниці, розмірність гладкої поверхні — двійці і розмірність множини додатнього об'єму — трьом. Для фрактальних множин розмірність Хаусдорфа може набувати дробових значень.

Означення

Визначення розмірності Хаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай $M$ — обмежена множина у метричному просторі $X$. Наприклад, нехай $X=R^{n}$.

$\delta$-покриття

Нехай $\delta >0,\delta \in R$. Не більш ніж зліченну сім'ю $\{U_{i}\}_{i\in I}$ підмножин простору $X$ будемо називати $\delta$-покриттям множини $M$, якщо виконуються наступні дві властивості:

• $\Omega \subset \bigcup _{i\in I}\omega _{i}$
• $M\subset \bigcup _{i\in I}U_{i}$
• для всіх $i\in I$ діаметр ${\text{diam }}U_{i}<\delta$ (для всіх $i\in I$ діаметр множин $U_{i}$ менший за $\delta$.

ρ-міра Хаусдорфа

Нехай $\rho >0$. Нехай $\Theta =\{U_{i}\}_{i\in I}$ — покриття множини $M$. Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: $F_{\rho }(\Theta ):=\sum \limits _{i\in I}(\operatorname {diam} \,U_{i})^{\rho }$. Позначимо через $M_{\rho }^{\delta }(M)$ «мінімальний розмір» ${\delta }$-покриття множини $M$: $M_{\rho }^{\delta }(M):=\inf(F_{\rho }(\Theta ))$, де инфимум береться по всім $\delta$-покриттях множини $M$. Очевидно, що функція $M_{\rho }^{\delta }(M)$ убуває по $\delta$. Отже, у неї є кінцева або нескінченна межа при $\delta \rightarrow 0$: $M_{\rho }(M)=\lim \limits _{\delta \rightarrow 0+}M_{\rho }^{\delta }(M)$. Величина $M_{\rho }(M)$ називається $\rho$-мірою Хаусдорфа множини $M$.

Властивості ρ-міри Хаусдорфа

• $\rho$-міра Хаусдорфа є борелівською мірою на $X$.
• з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Хаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Хаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; $d$- міра Хаусдорфа безлічей у $\mathbb {R} ^{d}$ збігається з їхній $d$-мірним обсягом.
• $M_{\rho }(M)$ убуває по $\rho$. Більш того для будь-якої множини $M$ існує критичне значення $\rho _{0}$, таке, що:
  • $M_{\rho }(M)=0$ для всіх $\rho >\rho _{0}$
  • $M_{\rho }(M)=+\infty$ для всіх $\rho <\rho _{0}$ Значення $M_{\rho _{0}}(M)$ може бути нульовим, кінцев або нескінченним.

Визначення розмірності Хаусдорфа

Розмірністю Хаусдорфа множини $M$ називається число $\rho _{0}$ з попереднього пункту.

Властивості розмірності Хаусдорфа

• Розмірність Хаусдорфа будь-якої множини не більша за нижню та верхню розмірності Мінковського.
• Розмірність Хаусдорфа не більш ніж зліченного об'єднання множин дорівнює максимальній розмірності об'єднаних множин. Зокрема, додавання зліченної множини до будь-якої множини не змінює її розмірності.
• Для самоподібних множин розмірність Хаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально, якщо множина розбивається на $n$ частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$, то її розмірність $s$ є розв'язком рівняння $r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1$. Наприклад, розмірність множини Кантора дорівнює $\ln 2/\ln 3$ (розбивається на дві частини, коефіцієнт подібності 1/3), а розмірність трикутника Серпінського — $\ln 3/\ln 2$ (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подібності 1/2).

Дивіться також

• Розмірність Лебега,
• Розмірність Мінковського,
• Фрактал.

Література

• Федер Е. (1991). Фракталы. М.: МИР. с. 254. ISBN 5-03-001712-7.

Джерела інформації

• Бенуа Мандельброт. Фрактальна геометрія природи.
• А. Морозов. Введение в теорию фракталов.
• Пайтген Х.О. Рихтер П.Х. Красота фракталов.
• Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах
• Божокин С.В. Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы.
• K.I. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
• Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7