Векторне числення

Векторне числення — область математичного аналізу, в якій вивчаються скалярні і векторні поля.

Основною теоремою векторного числення є Теорема Стокса.

Багато результатів векторного числення можуть бути представлені як часткові випадки диференціальної геометрії.

Основні операції над полями

• Градієнт
• Дивергенція
• Ротор
• Оператор Лапласа
• Потік вектора
• Циркуляція вектора

Основні формули векторного числення

Для довільних векторних полів $\mathbf {a}$ та $\mathbf {b}$ і довільних склярних полів $\varphi$ та $\xi$

• ${\text{rot}}\;\nabla \varphi =0$
• ${\text{div}}\;{\text{rot}}\;\mathbf {a} =0$
• ${\text{rot}}\;{\text{rot}}\;\mathbf {a} =\nabla {\text{div}}\;\mathbf {a} -\Delta \mathbf {a}$
• $\nabla (\varphi \xi )=\varphi \nabla \xi +\xi \nabla \varphi$
• ${\text{div}}\;(\varphi \mathbf {a} )=\varphi {\text{div}}\;\mathbf {a} +\mathbf {a} \cdot \nabla \varphi$
• ${\text{rot}}\;(\varphi \mathbf {a} )=\varphi {\text{rot}}\;\mathbf {a} +[\nabla \varphi \times \mathbf {a} ]$
• ${\text{div}}\;[\mathbf {a} \times \mathbf {b} ]=\mathbf {b} \cdot {\text{rot}}\;\mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot {\text{rot}}\;\mathbf {b}$
• $\nabla (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(\mathbf {a} \cdot \nabla )\mathbf {b} +(\mathbf {b} \cdot \nabla \mathbf {a} )+[\mathbf {a} \times {\text{rot}}\;\mathbf {b} ]+[\mathbf {b} \times {\text{rot}}\;\mathbf {a} ]$
• ${\text{rot}}\;[\mathbf {a} \times \mathbf {b} ]=(\mathbf {b} \cdot \nabla )\mathbf {a} -(\mathbf {a} \nabla )\mathbf {b} +\mathbf {a} {\text{div}}\;\mathbf {b} -\mathbf {b} {\text{div}}\;\mathbf {a}$