Автономне диференціальне рівняння
Автономне диференціальне рівняння (англ. autonomous differential equation) — система звичайних диференціальних рівнянь, яка не залежить явно від незалежної змінної. Коли ця змінна є часом, таке рівняння також відоме як часоінваріантна система.
Багато законів фізики, де зазвичай незалежна змінна є час, виражені як автономні системи, бо припускають, що закони природи, які діють нині тотожні тим, що діяли в минулому чи діятимуть у майбутньому.
Автономні системи близько стосуються динамічних систем. Будь-яку автономну систему можна перетворити в динамічну і, використовуючи дуже слабкі припущення, динамічну систему можна перетворити в автономну.
Визначення
ред.Автономна система — система звичайних диференціальних рівнянь у вигляді
де x приймає значення в n-вимірному Евклідовому просторі і t зазвичай є часом.
Така система відрізняється від системи типу
в яких закон, що керує швидкістю руху частинок залежить не тільки від положення частинок, але й від часу; такі системи не є автономними.
Важливою властивістю автономних систем є те, що векторне поле не змінюється з часом, тобто, якщо ми стартуємо в тій самій точці секундою пізніше, ми слідуємо тій самій траєкторії як і раніше лиш із затримкою на одну секунду.
Методи розв'язання
ред.Для розв'язання одновимірних автономних диференціальних рівнянь застосовуються такі підходи. Будь-яке одновимірне рівняння порядку тотожне до -вимірної системи рівнянь першого порядку, але не обов'язково навпаки.
Перший порядок
ред.В автономному рівнянні першого порядку
змінні можна розділити, отже його можна швидко розв'язати через переведення в інтегральну форму
Другий порядок
ред.Автономне рівняння другого порядку
складніше, але його можна розв'язати[1] через введення нової змінної
і вираження другої похідної (через ланцюгове правило) як
отже початкове рівняння переходить у
яка є рівнянням першого порядку, яка не містить незалежної змінної і, якщо розв'язати ми отримуємо як функцію від . Тоді, використавши визначення :
що є неявним розв'язком.
Література
ред.- Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003). Диференціальні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 600. ISBN 966-06-0249-9.(укр.)
Примітки
ред.- ↑ Boyce, William E.; Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Volume Problems (вид. 8th ed.). John Wiley & Sons. с. 133. ISBN 0-471-43338-1.