Гранична ознака порівняння

Гранична ознака порівняння (на відміну від пов'язаної ознаки порівняння) — це математичний критерій збіжності, який використовується для визначення збіжності чи розбіжності нескінченного ряду.

Твердження

Нехай задано два ряди $\sum _{n}a_{n}$ і $\sum _{n}b_{n}$, де $a_{n}\geq 0$, $b_{n}>0$ для будь-якого $n$. Якщо $\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {a_{n}}{b_{n}}}=c$, причому $0<c<\infty$, тоді обидва ряди або збіжні або навпаки є розбіжними.

Доведення

Оскільки $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$, то для будь-якого $\varepsilon >0$ існує натуральне число $n_{0}>0$ таке, що всіх $n\geq n_{0}$, виконується нерівність $\left|{\dfrac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$, що рівносильно:

$-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon$

$c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon ,$

$(c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}.$

Оскільки $c>0$, то можемо обрати $\varepsilon$ як завгодно малим, щоб $c-\varepsilon >0$. Тоді $b_{n}<{\dfrac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$, і за ознакою порівняння, якщо ряд $\sum _{n}a_{n}$ є збіжним, то збіжним буде і ряд $\sum _{n}b_{n}$.

Аналогічно для $a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$, якщо ряд $\sum _{n}{}a_{n}$ є розбіжним, то знову ж таки за ознакою порівняння розбіжним буде і ряд $\sum _{n}b_{n}$.

Отже, обидва ряди є збіжними, або розбіжними.

Приклад

Визначимо, чи буде збіжним ряд

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}.$

Для цього порівняємо його зі збіжним рядом

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Оскільки

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0,$

тому початковий ряд також є збіжним.

Одностороння версія

Односторонню версію граничної ознаки порівняння можна сформулювати за допомогою верхньої та нижньої границі. Нехай $a_{n},b_{n}\geq 0$ для будь-яких $n$. Тоді, якщо

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c,\quad 0\leq c<\infty ,$

$\sum \limits _{n}b_{n}$ є збіжним, тоді ряд $\sum \limits _{n}a_{n}$ обов'язково буде збіжним.

Приклад

Нехай $a_{n}={\dfrac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ і $b_{n}={\dfrac {1}{n^{2}}}$ для будь-яких $n$. Тоді

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim \limits _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})$

не існує, і в цьому випадку не можна використовувати стандартну версію граничної ознаки порівняння. Однак

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})=2\in [0,\infty ),$

ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ є збіжним, і тому згідно з односторонньою версією граничної ознаки порівняння ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ буде збіжним.

Обернена одностороння версія

Нехай $a_{n},b_{n}\geq 0$ для будь-якого $n$. Якщо ряд $\sum _{n}a_{n}$ розбіжний, а $\sum _{n}b_{n}$ збіжний, тоді обов'язково

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty$

або

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0.$

Головним тут є те, що у деякому сенсі числа $a_{n}$ більші за числа $b_{n}$.

Приклад

Нехай функція $f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ — аналітична на одиничному крузі

$D=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\},$

і має образ скінченної площі. Відповідно до формули Парсеваля площа образу функції $f$ дорівнює $\sum \limits _{n=1}^{\infty }n|a_{n}|^{2}$. Крім того, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }1/n$ є розбіжним. Отже, згідно з оберненою граничною ознакою маємо

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{1/n}}=\liminf _{n\to \infty }(n|a_{n}|)^{2}=0,$

тобто

$\liminf _{n\to \infty }n|a_{n}|=0.$

Див. також

• Ознаки збіжності
• Ознака порівняння

Додаткова література

• Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 9780817682897, pp. 50 [Архівовано 31 серпня 2019 у Wayback Machine.]
• Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR [Архівовано 13 травня 2021 у Wayback Machine.])
• J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR [Архівовано 5 грудня 2019 у Wayback Machine.])

Зовнішні лінки

• Pauls Online Notes on Comparison Test [Архівовано 14 липня 2014 у Wayback Machine.]