Кнудсенівська дифузія

Кну́дсенівська дифу́зія — дифузія газу через наскрізні пори в твердих тілах, непроникних для газів за відносно малих тисків газу або розмірів пор, тобто у випадках, коли довжина вільного пробігу $l$ молекул значно більша від характерного діаметра пор $d$. Перехід від звичайної дифузії в газах до кнудсенівської характеризують безрозмірним параметром — числом, або критерієм Кнудсена — $\mathrm {Kn}$:

Схема кнудсенівської дифузії.
$d$ — діаметр пори,
$l$ — довжина вільного пробігу молекули, ($l\gg d$).

$\mathrm {Kn} ={\frac {l}{d}},$

тобто, при $\mathrm {Kn} \gg 1,$ коли ймовірність зіткнень молекул газу зі стінками пор значно перевищує ймовірність взаємних зіткнень молекул.

Має важливе практичне значення, оскільки кількісно описує масоперенос у вузьких порах і в широких масштабах використовується в промисловості для дифузійного розділення сумішей газів за молекулярною масою, зокрема, для дифузійного розділення ізотопів.

Для газів за нормальних температури і тиску цей вид дифузії відбувається за діаметра пор від 2 до 50 нм; за більших діаметрів кнудсенівська дифузія переходить у класичну дифузію, а за менших — стає істотним розмір самих молекул відносно діаметра пори.

Названа на честь данського вченого Мартіна Кнудсена, який розглянув її в книзі «Кінетична теорія газів».

Основні співвідношення

У загальному випадку процеси дифузії описуються рівнянням Фіка:

$J=D\cdot \nabla C,$

де $J$ — молекулярний потік дифузії на одиницю поверхні, моль/(м²·с);

$D$ — коефіцієнт дифузії, м²/с;

$\nabla C$ — градієнт концентрації, моль/м⁴.

Або в одновимірному випадку:

$J_{x}=D{\frac {dC}{dx}},$

де $J_{x}$ — молекулярний потік уздовж осі x на одиницю площі, моль/(м²·с);

$C$ — концентрація, моль/м³;

$x$ — координата, м.

Для кнудсенівської дифузії через плоску стінку:

$J_{x}=D_{K}{\frac {dC}{dx}},$ $D_{K}$ — кнудсенівський коефіцієнт дифузії.

Кнудсенівський коефіцієнт дифузії можна обчислити з коефіцієнта самодифузії, який у молекулярно-кінетичній теорії газів дорівнює:

${D_{s}}={{lu} \over {3}}={{l} \over {3}}{\sqrt {{8RT} \over {\pi M}}}$

де $u$ — середня швидкість молекул, м/с;

$D_{s}$ — коефіцієнт самодифузії, м²/с;

$R$ — універсальна газова стала, 8,3144 Дж/(моль*K);

$T$ — абсолютна температура газу, К;

$M$ — молярна маса газу, кг/моль.

У разі дифузії Кнудсена середня довжина вільного пробігу замінюється характерним діаметром пор $d$, оскільки кожна з молекул у середньому до чергового зіткнення зі стінкою проходить шлях $d$:

${D_{K}}={{d} \over {3}}{\sqrt {{8RT} \over {\pi M}}}.$

Підставляючи вираз для отриманого коефіцієнта дифузії в рівняння Фіка і враховуючи, що $C=P/RT,$ тому $\nabla C={\frac {\Delta P}{RTL}},$ $L$ — довжина пори, $\Delta P$ — різниця тисків між кінцями пори, отримуємо об'ємну витрату газу, який дифундує через пору, в допущенні, що перепад тиску значно менший від середнього тиску — $\Delta P\ll P$:

$Q={\frac {\Delta Pd^{3}}{6LP}}{\sqrt {\frac {2\pi RT}{M}}}$

де $Q$ — витрата газу, м³/с;

$P$ — усереднений тиск газу в порі, Па.

Якщо довжина пори мала, тобто порівнянна з її діаметром, то стають істотними впливи на дифузію ефектів ефузії, які можна наближено врахувати, змінивши ефективну довжину пори $L_{e}$:

$L_{e}=L+{\tfrac {4}{3}}d.$

Кнудсенівська самодифузія

Під кнудсенівською самодифузією розуміють закон руху молекул уздовж пори в умовах термодинамічної рівноваги, тобто, коли температура і тиск уздовж пори сталі. У цьому випадку хаотичні рухи молекул підлягають закону Ейнштейна — Смолуховського.

Див. також

• Ефузія (фізика)
• Ефект Кнудсена

Література

• Malek K., Coppens M. O. Knudsen self- and Fickian diffusion in rough nanoporous media // Journal of Chemical Physics. — 2003. — Т. 119, вип. 5 (30 липня). — С. 2801—2811.

Посилання

• Transport in Small Pores. Архів оригіналу за 13 квітня 2012.