Ортогональні поліноми
|
|
Лежандра
|
Відкриті
|
Адрієн-Марі Лежандр
|
Формула
|
|
Диференціальне рівняння
|
|
Визначені на
|
|
Вага
|
1
|
Норма
|
|
Примітки
|
|
Поліноми Лежандра — ортогональні поліноми на інтервалі
.
Поліноми Лежандра можна отримати з системи поліномів
за допомогою ортогоналізації Грама-Шмідта.
Можуть бути обчислені за допомогою прямих формул:
![{\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad969113cbd9ce7c159d27350ece1e855f91c2a2)
або за рекурентними:
![{\displaystyle P_{n+1}(x)={2n+1 \over {n+1}}xP_{n}(x)-{n \over {n+1}}P_{n-1}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500329043621dd892af277a71a9108a3442ae1b2)
Вони є розв'язками диференційного рівняння Лежандра:
![{\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd51c7228067db4bea119843fb19c6caab834954)
Графіки поліномів Лежандра порядку
Генератриса для многочленів Лежандра дорівнює
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(z)x^{n}={1 \over {\sqrt {1-2xz+x^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a581c643d708385d161e354a5502c4cad0bc68b)
Перші 9 поліномів Лежандра:
![{\displaystyle \ P_{0}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f7674dfee332250d74f73353ba48cc28273acd)
![{\displaystyle \ P_{1}(x)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f0639b98dbdf0d8e70ad4701a5c993f0cb5740)
![{\displaystyle P_{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf9ebd6bcd5b91f583eca39d7ff441e445a8f8e)
![{\displaystyle P_{3}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9313bf1a7aa66ffd7d557ce6b96849ed91e447a5)
![{\displaystyle P_{4}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51cf9e1bddf7515e22e208d92a2ea34d632c81e6)
![{\displaystyle P_{5}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1921ed8f007005ad52a9b910946e340e12e62af3)
![{\displaystyle P_{6}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf899b792814a86438d5f8de1b5f3b27464b52eb)
![{\displaystyle P_{7}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647bfcf89c587cd300dc9d465bcc1983ff3b46ca)
![{\displaystyle P_{8}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a11979b399030348a1f601243990a0d9945779c)
![{\displaystyle P_{9}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bd7156333f3a7f063b92ac8ad15635eb2f3cbc)
Умова ортогональності справджується на інтервалі :
-
де — дельта-символ Кронекера.
Приєднані функції Лежандра
ред.
Приєднані функції Лежандра визначаються за формулою:
-
яку можна також представити у вигляді:
-
При функція збігається з .
Їх часто називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча насправді ці функції не поліноми.
Приєднані функції Лежандра є розв'язками диференціального рівняння:
-
або еквівалентного йому:
-