Теорема Сохоцького — Веєрштрасса
Теорема Сохоцького — Веєрштрасса (також теорема Казораті, теорема Казораті — Веєрштрасса) — теорема в комплексному аналізі, що описує поведінку голоморфної функції в околі істотно особливої точки. А саме відповідно до цієї теореми множина значень цієї функції в довільно малому околі істотно особливої точки є щільною множиною в множині комплексних чисел.
Вперше опублікована Казораті і Сохоцьким в 1868 році, згодом Веєрштрассом у 1876 році.
Значним посиленням теореми є велика теорема Пікара, згідно з якою множиною значень насправді є всі комплексні числа, за винятком можливо лише одного.
Твердження теореми
ред.Нехай функція — голоморфна у відкритій множині і в точці має істотно особливу точку. Тоді для будь-якого числа можна знайти послідовність точок таких що і також Іншими словами якщо — довільний проколотий круг з центром в точці , що міститься в , то множина є щільною в множині комплексних чисел.
Доведення
ред.Нехай спершу . Оскільки функція не може бути обмеженою в довільному проколотому крузі з центром в істотно особливій точці то в цьому крузі можна знайти точку в якій У той же спосіб визначається існування числа для якого і загалом чисел для яких
Очевидно, що в цьому випадку і також
Нехай тепер .
Якщо для кожного проколотого круга існує така точка для якої то послідовність із твердження теореми можна визначити взявши Тоді для всіх і .
Якщо ж в деякому проколотому крузі , що міститься в функція то можна визначити функцію:
Вона буде голоморфною в і матиме істотно особливу точку в Тому з уже доведеного можна знайти послідовність точок таких що і також
Але тоді також:
що завершує доведення теореми.
Див. також
ред.Джерела
ред.- Мельник Т. А. Курс лекцій з комплексного аналізу.