Опукла функція: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [перевірена версія] |
Rar (обговорення | внесок) інтервікі, зображення |
|||
(Не показано 34 проміжні версії 25 користувачів) | |||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
[[ |
[[Файл:Convex-function-graph-1.png|thumb|350px|right|Опукла функція однієї змінної]] |
||
'''Опукла функція''' & |
'''Опукла функція''', або '''опукла вниз функція'''<ref>{{Cite book|title=Математичний аналіз|url=https://archive.org/details/isbn_9789663463230|last=Заболоцький|first=М. В.|last2=Сторож|first2=О. Г.|last3=Тарасюк|first3=С. І.|year=2008|publisher=Знання|location=Київ|pages=[https://archive.org/details/isbn_9789663463230/page/n420 421]|chapter=7.3. Опуклість функції (с. 133)|language=|isbn=978-966-346-323-0}}</ref> — [[Функція (математика)|функція]], яка визначена на [[Опукла множина|опуклій множині]] лінійного простору, і задовольняє [[нерівність|нерівності]] |
||
: |
:<math> f(\lambda x + (1 - \lambda) y) \leqslant\lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y), \quad \forall \lambda \in [0;1]. </math> |
||
при всіх λ ∈ [0, 1]. |
|||
Нехай [[область визначення]] опуклої функції |
Нехай [[область визначення]] опуклої функції <math>f(x)</math> лежить в [[Скінченновимірний простір|скінченновимірному просторі]], тоді <math>f(x)</math> неперервна в будь-якій [[внутрішня точка|внутрішній точці]] цієї області. |
||
== Властивості опуклих функцій == |
== Властивості опуклих функцій == |
||
Нехай |
Нехай <math>x_1, \ldots, x_n</math> — будь-які точки із області визначення опуклої функції <math>f(x)</math>, <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math> — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють <math>1</math>. Тоді |
||
: <math> f \left(\sum_{i=1}^ |
: <math> f \left(\sum_{i = 1}^n \lambda_i x_i \right) \leqslant \sum_{i=1}^m \lambda_i f(x_i)</math>. |
||
Якщо |
Якщо <math>f(x)</math> — двічі [[неперервно-диференційована функція|неперервно-диференційована]] опукла функція, то [[Матриця (математика)|матриця]] її [[друга похідна|других похідних]] не від'ємно визначена. |
||
== Сильно опукла функція == |
|||
⚫ | |||
Поняття сильно опуклої функції розширює та параметризує поняття строгої опуклості. Сильно опукла функція також є строго опуклою, але не навпаки. |
|||
⚫ | |||
Диференційовна функція {{mvar|f}} називається сильно опуклою з параметром {{math|''m'' > 0}} якщо для всіх точок {{math|''x'', ''y''}} в її домені зберігається наступна нерівність:<ref name="bertsekas">{{cite book|page=[https://archive.org/details/convexanalysisop00bert_266/page/n87 72]|title=Convex Analysis and Optimization|url=https://archive.org/details/convexanalysisop00bert_266|author=Dimitri Bertsekas|others=Contributors: Angelia Nedic and Asuman E. Ozdaglar|publisher=Athena Scientific|year=2003|isbn=9781886529458}}</ref> |
|||
⚫ | |||
:<math> ( \nabla f(x) - \nabla f(y) )^T (x-y) \ge m \|x-y\|_2^2 </math> |
|||
або більш загально, |
|||
:<math> \langle \nabla f(x) - \nabla f(y), (x-y) \rangle \ge m \|x-y\|^2 </math> |
|||
де <math>\|\cdot\|</math> будь-яка [[Норма (математика)|норма]]. |
|||
==Операції, що зберігають опуклість== |
|||
*Якщо {{mvar|f}} і {{mvar|g}} є опуклими функціями, тоді <math>m(x) = \max\{f(x),g(x)\}</math> і <math>h(x) = f(x) + g(x)</math> також опуклі. |
|||
*Якщо {{mvar|f}} і {{mvar|g}} є опуклими функціями і {{mvar|g}} є неспадною, тоді <math>h(x) = g(f(x))</math> є опуклою. Наприклад, якщо {{math|''f''(''x'')}} є опуклою, тоді <math>e^{f(x)}</math>, також опукла, тому що <math>e^x</math> є опуклою і монотонно висхідною. |
|||
*Якщо {{mvar|f}} є угнутою і {{mvar|g}} є опуклою і невисхідною, тоді <math>h(x) = g(f(x))</math> є опуклою. |
|||
*Опуклість незмінна при застосування афінного відображення: тобто, якщо {{math|''f''}} є опуклою із [[Область визначення|областю визначення]] <math>D_f \subseteq \mathbf{R}^m</math>, тоді <math>g(x) = f(Ax+b)</math> також опукла, де <math>A\in\mathbf{R}^{m \times n}, b\in\mathbf{R}^m</math> з областю визначення <math>D_g \subseteq \mathbf{R}^n</math>. |
|||
*Якщо {{math|''f''(''x'', ''y'')}} є опуклою по {{mvar|x}} тоді <math>g(x) = \sup_{y\in C} f(x,y)</math> є опуклою по ''x'', якщо <math>g(x) > -\infty</math> для якогось {{mvar|x}}, навіть якщо ''C'' не є опуклою множиною. |
|||
*Якщо {{math|''f''(''x'')}} є опуклою, тоді її перспектива <math>g(x, t) = t f(x/t)</math> (чия область визначення — <math>\left\lbrace (x, t) | \tfrac{x}{t} \in \text{Dom}(f), t > 0 \right\rbrace</math>) є опуклою. |
|||
* [[Протилежне число|Протилежна]] до опуклої функції функція є [[угнута функція|угнутою]]. |
|||
* Якщо <math> f(x) </math> є опуклою дійснозначимою функцією, тоді <math> f(x) = \sup_n (a_nx + b_n) </math> для зліченного набору дійсних чисел <math> (a_n, b_n) .</math> |
|||
⚫ | |||
* [[Увігнута функція]] |
|||
* [[Точка перегину]] |
|||
* [[Опукла множина]] |
* [[Опукла множина]] |
||
* [[Задача опуклого програмування]] |
* [[Задача опуклого програмування]] |
||
* [[Квазіопукла функція]] |
|||
* [[Субдиференціал]] |
|||
* [[Опуклий аналіз]] |
|||
== Примітки == |
|||
⚫ | |||
{{reflist}} |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Посилання == |
|||
* {{Клепко_ВМ|частина=Опуклість та вгнутість функції|сторінки=317}} |
|||
⚫ | |||
[[Категорія:Опуклий аналіз]] |
|||
[[cs:Konvexnost a konkávnost funkce]] |
|||
⚫ | |||
[[da:Konveks]] |
|||
[[de:Konvexe und konkave Funktionen]] |
|||
[[en:Convex function]] |
|||
[[es:Función convexa]] |
|||
[[fr:Fonction convexe]] |
|||
[[gl:Función convexa]] |
|||
[[it:Funzione convessa]] |
|||
[[he:פונקציה קמורה]] |
|||
[[hu:Konvex függvény]] |
|||
[[ja:凸関数]] |
|||
[[pl:Wypukłość funkcji]] |
|||
[[pt:Função convexa]] |
|||
[[ru:Выпуклая функция]] |
|||
[[sk:Konvexná funkcia]] |
|||
[[fi:Konveksi funktio]] |
|||
[[sv:Konvex funktion]] |
|||
[[zh:凸函数]] |
Поточна версія на 15:09, 27 квітня 2022
Опукла функція, або опукла вниз функція[1] — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності
Нехай область визначення опуклої функції лежить в скінченновимірному просторі, тоді неперервна в будь-якій внутрішній точці цієї області.
Нехай — будь-які точки із області визначення опуклої функції , — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють . Тоді
- .
Якщо — двічі неперервно-диференційована опукла функція, то матриця її других похідних не від'ємно визначена.
Поняття сильно опуклої функції розширює та параметризує поняття строгої опуклості. Сильно опукла функція також є строго опуклою, але не навпаки.
Диференційовна функція f називається сильно опуклою з параметром m > 0 якщо для всіх точок x, y в її домені зберігається наступна нерівність:[2]
або більш загально,
де будь-яка норма.
- Якщо f і g є опуклими функціями, тоді і також опуклі.
- Якщо f і g є опуклими функціями і g є неспадною, тоді є опуклою. Наприклад, якщо f(x) є опуклою, тоді , також опукла, тому що є опуклою і монотонно висхідною.
- Якщо f є угнутою і g є опуклою і невисхідною, тоді є опуклою.
- Опуклість незмінна при застосування афінного відображення: тобто, якщо f є опуклою із областю визначення , тоді також опукла, де з областю визначення .
- Якщо f(x, y) є опуклою по x тоді є опуклою по x, якщо для якогось x, навіть якщо C не є опуклою множиною.
- Якщо f(x) є опуклою, тоді її перспектива (чия область визначення — ) є опуклою.
- Протилежна до опуклої функції функція є угнутою.
- Якщо є опуклою дійснозначимою функцією, тоді для зліченного набору дійсних чисел
- Увігнута функція
- Точка перегину
- Опукла множина
- Задача опуклого програмування
- Квазіопукла функція
- Субдиференціал
- Опуклий аналіз
- ↑ Заболоцький, М. В.; Сторож, О. Г.; Тарасюк, С. І. (2008). 7.3. Опуклість функції (с. 133). Математичний аналіз. Київ: Знання. с. 421. ISBN 978-966-346-323-0.
- ↑ Dimitri Bertsekas (2003). Convex Analysis and Optimization. Contributors: Angelia Nedic and Asuman E. Ozdaglar. Athena Scientific. с. 72. ISBN 9781886529458.
- Енциклопедія кібернетики, Пшеничний Б. М., т. 1, ст. 198.
- Опуклість та вгнутість функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 317. — 594 с.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |