Теорія протікання: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Інтерактивний перегляд історії
[перевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагування
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
м clean up, replaced: Scientific Reports → Scientific Reports за допомогою AWB
 
(Не показані 17 проміжних версій 5 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
[[File:perc-wiki.png|thumb|Тривимірний граф вузлів.]]
[[File:perc-wiki.png|thumb|Тривимірний граф вузлів.]]
'''Теорія протікання''' або '''теорія перколяції''' — математична теорія, яка описує властивості зв'язаних кластерів на [[випадковий граф|випадковому графі]]. Теорія знайшла застосування в описі явища [[Перколяція|перколяції]] в [[статистична фізика|статистичній фізиці]] та [[матеріалознавство|матеріалознавстві]].
'''Теорія протікання''' або '''теорія перколяції''' ({{lang-en|percolation theory}}) — математична теорія, яка описує властивості зв'язаних кластерів на [[випадковий граф|випадковому графі]]. Теорія знайшла застосування в описі явища [[Перколяція|перколяції]] в [[статистична фізика|статистичній фізиці]] та [[матеріалознавство|матеріалознавстві]].


==Вступ==
==Вступ==
Назва теорії, що відображає її мету, походить з такої задачі. Нехай в пористий матеріал заливається рідина. Чи просочиться вона через мережу пор аж до протилежного боку? Математично цю фізичну задачу моделюють тривимірною мережею на ґратці розмірністю ''n''&nbsp;&times;&nbsp;''n''&nbsp;&times;&nbsp;''n'' вузлів. Сусідні вузли сполучені між собою шляхами, які можуть з імовірністю ''p'' бути відкритими. Яка ймовірність того, що в системі існує наскрізний ланцюжок відкритих шляхів? Особливо цікава поведінка при великих ''n''. Поставлена так задача, що отримала назву '''перколяції зв'язків''', була сформульована Бродбентом та Гаммерслі в 1950-х<ref name="BroadbentHammersley2008">{{cite journal|last1=Broadbent|first1=S. R.|last2=Hammersley|first2=J. M.|title=Percolation processes|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume=53|issue=03|year=2008|pages=629|issn=0305-0041|doi=10.1017/S0305004100032680|bibcode = 1957PCPS...53..629B }}</ref>, після чого почалося й продовжується її дослідження фізиками та математиками.
Назва теорії, що відображає її мету, походить з такої задачі. Нехай в пористий матеріал заливається рідина. Чи просочиться вона через мережу пор аж до протилежного боку? Математично цю фізичну задачу моделюють тривимірною мережею на ґратці розмірністю ''n''&nbsp;&times;&nbsp;''n''&nbsp;&times;&nbsp;''n'' вузлів. Сусідні вузли сполучені між собою шляхами, які можуть з імовірністю ''p'' бути відкритими. Яка ймовірність того, що в системі існує наскрізний ланцюжок відкритих шляхів? Особливо цікава поведінка при великих ''n''. Поставлена так задача, що отримала назву '''перколяції зв'язків''', була сформульована Бродбентом та Гаммерслі в 1950-х<ref name="BroadbentHammersley2008">{{cite journal|last1=Broadbent|first1=S. R.|last2=Hammersley|first2=J. M.|title=Percolation processes|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume=53|issue=03|year=2008|pages=629|issn=0305-0041|doi=10.1017/S0305004100032680|bibcode = 1957PCPS...53..629B }}</ref>, після чого почалося й продовжується її дослідження фізиками та математиками.


Дещо по іншому формулюється задача '''перколяції вузлів'''. Припускається, що вузол може бути з імовірністю ''p'' заповненим. В протилежному випадку він є порожнім. Питання не змінюється: яка імовірність існування наскрізного графу? Або по іншому: при якому ''p'' порожні вузли стануть незв'язаними?
Дещо по іншому формулюється задача '''перколяції вузлів'''. Припускається, що вузол може бути з імовірністю ''p'' заповненим. В протилежному випадку він є порожнім. Питання не змінюється: яка імовірність існування наскрізного графу? Або по іншому: при якому ''p'' порожні вузли стануть незв'язаними?


Задачу можна розв'язувати для ґратки будь-яких розмірів. Насправді її легше розв'язати для нескінченної ґратки. У цьому випадку питання ставиться так: чи існує нескінченний відкритий кластер? За [[Закон нуля і одиниці|законом нуля і одиниці]] Колмогорова для заданого ''p'' імовірність існування нескінченного кластера може бути або нулем, або одиницею. Оскільки ймовірність монотонно зростає з ростом ''p'', повинна існувати порогова, '''критична''' йомовірність ''p''<sub>c</sub>, нижче якої імовірність існуння нескінченного кластера завжди нуль, а вище - одиниця. Цю критичність дуже легко спостерігати на практиці. Навіть для невеликого ''n'' = 100, ймовірність відкритого наскрізного шляху дуже різко зростає від майже нульових значень, до майже одиничних, у дуже невеличкому проміжку ''p''.
Задачу можна розв'язувати для ґратки будь-яких розмірів. Насправді її легше розв'язати для нескінченної ґратки. У цьому випадку питання ставиться так: чи існує нескінченний відкритий кластер? За [[Закон нуля і одиниці|законом нуля і одиниці]] Колмогорова для заданого ''p'' імовірність існування нескінченного кластера може бути або нулем, або одиницею. Оскільки ймовірність монотонно зростає з ростом ''p'', повинна існувати порогова, '''критична''' йомовірність ''p''<sub>c</sub>, нижче якої імовірність існуння нескінченного кластера завжди нуль, а вище - одиниця. Цю критичність дуже легко спостерігати на практиці. Навіть для невеликого ''n'' = 100, ймовірність відкритого наскрізного шляху дуже різко зростає від майже нульових значень, до майже одиничних, у дуже невеличкому проміжку ''p''.
[[Image:Bond percolation p 51.png|thumb|Перколяція зв'язків на двовимірній квадратній ґратці при ймовірності ''p'' = 0,51.]]
[[Image:Bond percolation p 51.png|thumb|Перколяція зв'язків на двовимірній квадратній ґратці при ймовірності ''p'' = 0,51.]]



У деяких випадках ''p''<sub>c</sub> можна розрахувати точно. Наприклад, для двовимірної квадратної ґратки '''Z'''<sup>2</sup> в задачі зв'язків ''p''<sub>c</sub>&nbsp;=&nbsp;1/2. Цей факт залишався недоведеним упродовж 20 років, доки на початку 1908-х роз'язок не знайшов [[Гаррі Кестен]]<ref name="BollobásRiordan2006">{{cite journal|last1=Bollobás|first1=Béla|last2=Riordan|first2=Oliver|title=Sharp thresholds and percolation in the plane|journal=Random Structures and Algorithms|volume=29|issue=4|year=2006|pages=524–548|issn=1042-9832|doi=10.1002/rsa.20134}}</ref>. Граничний випадок ґраток із багатьма розмірностями дається [[ґратка Бете|ґраткою Бете]], для якої поріг становить ''p''<sub>c</sub>&nbsp;=&nbsp;1/(''z''&nbsp;&minus;&nbsp;1), де ''z''&nbsp;— [[координаційне число]]. Для більшості нескінченних графів точного значення ''p''<sub>c</sub> знайти неможливо.
У деяких випадках ''p''<sub>c</sub> можна розрахувати точно. Наприклад, для двовимірної квадратної ґратки '''Z'''<sup>2</sup> в задачі зв'язків ''p''<sub>c</sub>&nbsp;=&nbsp;1/2. Цей факт залишався недоведеним упродовж 20 років, доки на початку 1908-х роз'язок не знайшов [[Гаррі Кестен]]<ref name="BollobásRiordan2006">{{cite journal|last1=Bollobás|first1=Béla|last2=Riordan|first2=Oliver|title=Sharp thresholds and percolation in the plane|journal=Random Structures and Algorithms|volume=29|issue=4|year=2006|pages=524–548|issn=1042-9832|doi=10.1002/rsa.20134}}</ref>. Граничний випадок ґраток із багатьма розмірностями дається [[ґратка Бете|ґраткою Бете]], для якої поріг становить ''p''<sub>c</sub>&nbsp;=&nbsp;1/(''z''&nbsp;&minus;&nbsp;1), де ''z''&nbsp;— [[координаційне число]]. Для більшості нескінченних графів точного значення ''p''<sub>c</sub> знайти неможливо.
Рядок 20: Рядок 19:
===Підкритична та надкритична===
===Підкритична та надкритична===


Основною властивістю підкритичної фази є "експоненціальне згасання". Тобто, коли ''p''&nbsp;<&nbsp;''p''<sub>c</sub>, імовірність того, що певний вузол належить відкритому кластеру розміру ''r'' за експоненційним законом. Це було доказано для трьох та більшого числа вимірів Меньшиковим<ref>{{harvtxt|Menshikov|1986}}</ref> 1986 року та незалежно Айзенманам і Барським у 1987<ref>{{harvtxt|Aizenman|Barsky|1987}}</ref>. Для двох вимірів це твердження було частиною доказу Кестена, що ''p''<sub>c</sub>&nbsp;=&nbsp;1/2<ref name="Kesten1982">{{cite journal|last1=Kesten|first1=Harry|title=Percolation Theory for Mathematicians|year=1982|doi=10.1007/978-1-4899-2730-9}}</ref>.
Основною властивістю підкритичної фази є "експоненціальне згасання". Тобто, коли ''p''&nbsp;<&nbsp;''p''<sub>c</sub>, імовірність того, що певний вузол належить відкритому кластеру розміру ''r'' за експоненційним законом. Це було доказано для трьох та більшого числа вимірів Меньшиковим<ref>{{harvtxt|Menshikov|1986}}</ref> 1986 року та незалежно Айзенманам і Барським у 1987<ref>{{harvtxt|Aizenman|Barsky|1987}}</ref>. Для двох вимірів це твердження було частиною доказу Кестена, що ''p''<sub>c</sub>&nbsp;=&nbsp;1/2<ref name="Kesten1982">{{cite journal|last1=Kesten|first1=Harry|title=Percolation Theory for Mathematicians|year=1982|doi=10.1007/978-1-4899-2730-9}}</ref>.


[[Двоїстий граф]] квадратної ґратки '''Z'''<sup>2</sup> є також квадратною ґраткою. Наслідком цього є те, що в двох вимірах надкритична фаза є двоїстою до підритичної перколяції. Цей факт дає повну інформацію для надкритичної фази при ''d''&nbsp;=&nbsp;2. Головним результатом для надкритичної фази розмірності три і більше є те, що існує нескінчений відкритий кластер на двовимірному зрізі&nbsp;'''Z'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;[0,&nbsp;''N'']<sup>''d''&minus;2</sup>, як довели Грімметт та Марстран у 1990<ref name="GrimmettMarstrand1990">{{cite journal|last1=Grimmett|first1=G. R.|last2=Marstrand|first2=J. M.|title=The Supercritical Phase of Percolation is Well Behaved|journal=Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|volume=430|issue=1879|year=1990|pages=439–457|issn=1364-5021|doi=10.1098/rspa.1990.0100|bibcode=1990RSPSA.430..439G}}</ref>.
[[Двоїстий граф]] квадратної ґратки '''Z'''<sup>2</sup> є також квадратною ґраткою. Наслідком цього є те, що в двох вимірах надкритична фаза є двоїстою до підритичної перколяції. Цей факт дає повну інформацію для надкритичної фази при ''d''&nbsp;=&nbsp;2. Головним результатом для надкритичної фази розмірності три і більше є те, що існує нескінчений відкритий кластер на двовимірному зрізі&nbsp;'''Z'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;[0,&nbsp;''N'']<sup>''d''&minus;2</sup>, як довели Грімметт та Марстран у 1990<ref name="GrimmettMarstrand1990">{{cite journal|last1=Grimmett|first1=G. R.|last2=Marstrand|first2=J. M.|title=The Supercritical Phase of Percolation is Well Behaved|journal=Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|volume=430|issue=1879|year=1990|pages=439–457|issn=1364-5021|doi=10.1098/rspa.1990.0100|bibcode=1990RSPSA.430..439G}}</ref>.


У двох вимірах при ''p''&nbsp;<&nbsp;1/2 існує з імовірністю 1 нескінченний закритий кластер. Тому підкритичну фазу можна описати як скінченні відкритиі острови в нескінченному закритому океані. Коли ''p''&nbsp;>&nbsp;1/2 ситуація протилежна&nbsp;— закриті острови у відкритому океані. Картина складніша, коли ''d''&nbsp;≥&nbsp;3, оскільки ''p''<sub>c</sub>&nbsp;<&nbsp;1/2, і нескінченні закриті та відкриті кластери можуть співіснувати в проміжку ''p'' між ''p''<sub>c</sub> та&nbsp;1&nbsp;&minus;&nbsp;''p''<sub>c</sub>.
У двох вимірах при ''p''&nbsp;<&nbsp;1/2 існує з імовірністю 1 нескінченний закритий кластер. Тому підкритичну фазу можна описати як скінченні відкритиі острови в нескінченному закритому океані. Коли ''p''&nbsp;>&nbsp;1/2 ситуація протилежна&nbsp;— закриті острови у відкритому океані. Картина складніша, коли ''d''&nbsp;≥&nbsp;3, оскільки ''p''<sub>c</sub>&nbsp;<&nbsp;1/2, і нескінченні закриті та відкриті кластери можуть співіснувати в проміжку ''p'' між ''p''<sub>c</sub> та&nbsp;1&nbsp;&minus;&nbsp;''p''<sub>c</sub>.
Рядок 28: Рядок 27:
===Критична===
===Критична===


У критичній точці ''p''&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>c</sub> модель тає сингулярність, що вважається степеневою. Теорія масштабування передбачає існування [[критичні індекси|критичного показника]], що залежить від розмірності системи ''d'', і що визначає клас сингулярності. Коли ''d''&nbsp;=&nbsp;2 це припущення підтримується міркуваннями з теорії конформного поля та еволюції Шрамма-Левнера і дає гіпотетичні числові значення для критичних індексів. Більшість з цих припущень мають гіпотетичний характер, крім тих випадків, коли ''d'' задовольняє умови ''d''&nbsp;=&nbsp;2 або &nbsp;''d''&nbsp;≥&nbsp;19. Серед них:
У критичній точці ''p''&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>c</sub> модель має [[особлива точка|сингулярність]], що вважається степеневою. Теорія масштабування передбачає існування [[критичні індекси|критичного показника]], що залежить від розмірності системи ''d'', і що визначає клас сингулярності. Коли ''d''&nbsp;=&nbsp;2, це припущення підтримується міркуваннями з [[конформна теорія поля|конформної теорії поля]] та [[еволюція Шрамма-Левнера|еволюції Шрамма-Левнера]] і дає гіпотетичні числові значення для критичних індексів. Більшість з цих припущень мають гіпотетичний характер, крім тих випадків, коли ''d'' задовольняє умови ''d''&nbsp;=&nbsp;2 або &nbsp;''d''&nbsp;≥&nbsp;19. Серед них:


* Не існує нескінченних кластерів (ні відкритих, ні закритих)
⚫
<!---
* Імовірність існування відкритого шлаху між фіксованою точкою та іншим вузлом на відстані ''r'' спадає ''поліноміально'', тобто пропорційна ''r''<sup>&nbsp;''α''</sup> для деякого&nbsp;''α''

** Показник ''α'' не залежить від конкретного вибору ґратки чи від інших локальних параметрів. Він залежить тільки від розмірності ''d'' (це прояв принципу універсальності).

⚫
** ''α''<sub>''d''</sub> зменшується від ''d''&nbsp;=&nbsp;2 до ''d''&nbsp;=&nbsp;6, а надалі залишається сталим.

* There are no infinite clusters (open or closed)
* The probability that there is an open path from some fixed point (say the origin) to a distance of ''r'' decreases ''polynomially'', i.e. is [[big O notation|on the order of]] ''r''<sup>&nbsp;''α''</sup> for some&nbsp;''α''
** ''α'' does not depend on the particular lattice chosen, or on other local parameters. It depends only on the dimension ''d'' (this is an instance of the [[Universality (dynamical systems)|universality]] principle).
⚫
** ''α''<sub>''d''</sub> decreases from ''d''&nbsp;=&nbsp;2 until ''d''&nbsp;=&nbsp;6 and then stays fixed.
** ''α''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;&minus;5/48
** ''α''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;&minus;5/48
** ''α''<sub>6</sub>&nbsp;=&nbsp;&minus;1.
** ''α''<sub>6</sub>&nbsp;=&nbsp;&minus;1.
* Форма великого кластера в двовимірній системі конформаційно інваріантна.
* The shape of a large cluster in two dimensions is [[conformal map|conformally invariant]].
Дивіться {{harvtxt|Grimmett|1999}}.<ref name="Grimmett1999">{{cite journal|last1=Grimmett|first1=Geoffrey|title=Percolation|volume=321|year=1999|issn=0072-7830|doi=10.1007/978-3-662-03981-6}}</ref>.


See {{harvtxt|Grimmett|1999}}.<ref name="Grimmett1999">{{cite journal|last1=Grimmett|first1=Geoffrey|title=Percolation|volume=321|year=1999|issn=0072-7830|doi=10.1007/978-3-662-03981-6}}</ref> In dimension&nbsp;≥&nbsp;19, these facts are largely proved using a technique known as the [[lace expansion]]. It is believed that a version of the lace expansion should be valid for 7 or more dimensions, perhaps with implications also for the threshold case of 6 dimensions. The connection of percolation to the lace expansion is found in {{harvtxt|Hara|Slade|1990}}.<ref name="HaraSlade1990">{{cite journal|last1=Hara|first1=Takashi|last2=Slade|first2=Gordon|title=Mean-field critical behaviour for percolation in high dimensions|journal=Communications in Mathematical Physics|volume=128|issue=2|year=1990|pages=333–391|issn=0010-3616|doi=10.1007/BF02108785|bibcode = 1990CMaPh.128..333H }}</ref>
Для розмірності&nbsp;≥&nbsp;19 ці факти доволяться в принципі за допомогою техніки, що називається мереживним розкладом. Вважається, що якась версія мереживного розкладу повинна існувати для розмірності понад 7 і вривати на порогову розмірність 6. Зв'язок між перколяцією та мережевним розкладом можна знайти в роботі Хари та Слейда<ref name="HaraSlade1990">{{cite journal|last1=Hara|first1=Takashi|last2=Slade|first2=Gordon|title=Mean-field critical behaviour for percolation in high dimensions|url=https://archive.org/details/sim_communications-in-mathematical-physics_1990-03_128_2/page/333|journal=Communications in Mathematical Physics|volume=128|issue=2|year=1990|pages=333–391|issn=0010-3616|doi=10.1007/BF02108785|bibcode = 1990CMaPh.128..333H }}</ref>.

In dimension&nbsp;2, the first fact ("no percolation in the critical phase") is proved for many lattices, using duality. Substantial progress has been made on two-dimensional percolation through the conjecture of [[Oded Schramm]] that the [[scaling limit]] of a large cluster may be described in terms of a [[Schramm&ndash;Loewner evolution]]. This conjecture was proved by {{harvtxt|Smirnov|2001}}<ref name="Smirnov2001">{{cite journal|last1=Smirnov|first1=Stanislav|title=Critical percolation in the plane: conformal invariance, Cardy's formula, scaling limits|journal=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics|volume=333|issue=3|year=2001|pages=239–244|issn=0764-4442|doi=10.1016/S0764-4442(01)01991-7|bibcode = 2001CRASM.333..239S }}</ref> in the special case of site percolation on the triangular lattice.


Для розмірності 2, факт відсутності протікання в критичній фазі доведено для багатьох ґраток через двоїстість. Значний прогрес у вивченні двовимірної перколяції було зроблено завдяки припущенню Одеда Шрамма, що граничний масштаб для великого кластера можна описати, використовуючи еволюцію Шрамма-Левнера. Цю гіпотезу доказав 2001 року Смирнов<ref name="Smirnov2001">{{cite journal|last1=Smirnov|first1=Stanislav|title=Critical percolation in the plane: conformal invariance, Cardy's formula, scaling limits|journal=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics|volume=333|issue=3|year=2001|pages=239–244|issn=0764-4442|doi=10.1016/S0764-4442(01)01991-7|bibcode = 2001CRASM.333..239S }}</ref> для спеціального випадку вузлової перколяції на трикутній ґратці.


==Моделі ==
*Першою вивченою моделлю була перколяція Бернуллі, в якій усі зв'язки незалежні. Фізики її називають перколяцією зв'язків.
*Узагальнення внесла модель випадкових кластерів Фортюена-Кастелена, що має численні зв'язки з [[модель Ізінга|моделлю Ізінга]].
*Перколяція Бернуллі на повному графі є прикладом випадкового графу. Критична імовірність дорівнює ''p'' = 1/''N'', де ''N'' є числом вузлів на графі.
*Бутстреп-перколяція<ref>{{citation
| last = Adler | first = Joan | authorlink = Джоан Едлер
| doi = 10.1016/0378-4371(91)90295-n
| issue = 3
| journal = Physica A: Statistical Mechanics and its Applications
| pages = 453–470
| title = Bootstrap percolation
| volume = 171
| year = 1991}}.</ref> вилучає з кластерів активні вузли, що мають надто мало активних сусідів, а тоді досліджує зв'язність тих вузлів, що залишилисся.
*Направлена перколяція має відношення до вивчення процесів контакту в математиці.
*Перколяція першого проходу.
*Інвазивна перколяція.
* Перколяція зі зв'язками залежності<ref name="ParshaniBuldyrev2010">{{cite journal|last1=Parshani|first1=R.|last2=Buldyrev|first2=S. V.|last3=Havlin|first3=S.|title=Critical effect of dependency groups on the function of networks|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=108|issue=3|year=2010|pages=1007–1010|issn=0027-8424|doi=10.1073/pnas.1008404108|arxiv = 1010.4498 |bibcode = 2011PNAS..108.1007P|pmid=21191103|pmc=3024657}}</ref>.
* Перколяція в моделі поширення думок<ref name="ShaoHavlin2009">{{cite journal|last1=Shao|first1=Jia|last2=Havlin|first2=Shlomo|last3=Stanley|first3=H. Eugene|title=Dynamic Opinion Model and Invasion Percolation|journal=Physical Review Letters|volume=103|issue=1|year=2009|issn=0031-9007|doi=10.1103/PhysRevLett.103.018701|bibcode = 2009PhRvL.103a8701S }}</ref>.
* Перколяція при локальній атаці, запропонована Березіним<ref name="BerezinBashan2015">{{cite journal|last1=Berezin|first1=Yehiel|last2=Bashan|first2=Amir|last3=Danziger|first3=Michael M.|last4=Li|first4=Daqing|last5=Havlin|first5=Shlomo|title=Localized attacks on spatially embedded networks with dependencies|journal=[[Scientific Reports]]|volume=5|issue=1|year=2015|issn=2045-2322|doi=10.1038/srep08934}}</ref>.
* Перколяція вуличного руху<ref name="LiFu2015">{{cite journal|last1=Li|first1=Daqing|last2=Fu|first2=Bowen|last3=Wang|first3=Yunpeng|last4=Lu|first4=Guangquan|last5=Berezin|first5=Yehiel|last6=Stanley|first6=H. Eugene|last7=Havlin|first7=Shlomo|title=Percolation transition in dynamical traffic network with evolving critical bottlenecks|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=112|issue=3|year=2015|pages=669–672|issn=0027-8424|doi=10.1073/pnas.1419185112|pmid=25552558|pmc=4311803}}</ref>.
* Перколяція з відновленням вузлів та зв'язків<ref name="MajdandzicPodobnik2013">{{cite journal|last1=Majdandzic|first1=Antonio|last2=Podobnik|first2=Boris|last3=Buldyrev|first3=Sergey V.|last4=Kenett|first4=Dror Y.|last5=Havlin|first5=Shlomo|last6=Eugene Stanley|first6=H.|title=Spontaneous recovery in dynamical networks|journal=Nature Physics|volume=10|issue=1|year=2013|pages=34–38|issn=1745-2473|doi=10.1038/nphys2819}}</ref>.


⚫
<!---


--->
--->


== Виноски ==
== Примітки ==
{{примітки|2}}
{{reflist}}
{{Фрактали}}

{{physics-stub}}


[[Категорія:Статистична фізика]]
[[Категорія:Статистична фізика]]

Поточна версія на 00:31, 13 лютого 2023

Тривимірний граф вузлів.

Теорія протікання або теорія перколяції (англ. percolation theory) — математична теорія, яка описує властивості зв'язаних кластерів на випадковому графі. Теорія знайшла застосування в описі явища перколяції в статистичній фізиці та матеріалознавстві.

Вступ

[ред. | ред. код]

Назва теорії, що відображає її мету, походить з такої задачі. Нехай в пористий матеріал заливається рідина. Чи просочиться вона через мережу пор аж до протилежного боку? Математично цю фізичну задачу моделюють тривимірною мережею на ґратці розмірністю n × n × n вузлів. Сусідні вузли сполучені між собою шляхами, які можуть з імовірністю p бути відкритими. Яка ймовірність того, що в системі існує наскрізний ланцюжок відкритих шляхів? Особливо цікава поведінка при великих n. Поставлена так задача, що отримала назву перколяції зв'язків, була сформульована Бродбентом та Гаммерслі в 1950-х[1], після чого почалося й продовжується її дослідження фізиками та математиками.

Дещо по іншому формулюється задача перколяції вузлів. Припускається, що вузол може бути з імовірністю p заповненим. В протилежному випадку він є порожнім. Питання не змінюється: яка імовірність існування наскрізного графу? Або по іншому: при якому p порожні вузли стануть незв'язаними?

Задачу можна розв'язувати для ґратки будь-яких розмірів. Насправді її легше розв'язати для нескінченної ґратки. У цьому випадку питання ставиться так: чи існує нескінченний відкритий кластер? За законом нуля і одиниці Колмогорова для заданого p імовірність існування нескінченного кластера може бути або нулем, або одиницею. Оскільки ймовірність монотонно зростає з ростом p, повинна існувати порогова, критична йомовірність pc, нижче якої імовірність існуння нескінченного кластера завжди нуль, а вище - одиниця. Цю критичність дуже легко спостерігати на практиці. Навіть для невеликого n = 100, ймовірність відкритого наскрізного шляху дуже різко зростає від майже нульових значень, до майже одиничних, у дуже невеличкому проміжку p.

Перколяція зв'язків на двовимірній квадратній ґратці при ймовірності p = 0,51.

У деяких випадках pc можна розрахувати точно. Наприклад, для двовимірної квадратної ґратки Z2 в задачі зв'язків pc = 1/2. Цей факт залишався недоведеним упродовж 20 років, доки на початку 1908-х роз'язок не знайшов Гаррі Кестен[2]. Граничний випадок ґраток із багатьма розмірностями дається ґраткою Бете, для якої поріг становить pc = 1/(z − 1), де z — координаційне число. Для більшості нескінченних графів точного значення pc знайти неможливо.

Універсальність

[ред. | ред. код]

Принцип універсальності стверджує, що числове значення pc визначається локальною структурою графа, тоді як поведінка кластерів нижче і вище критичного значення не залежить від локальної структури, а тому в певному сенсі цю поведінку розглядати природніше, ніж саме pc. Універсальність означає також, що для заданої розмірності різні критичні індекси, фрактальна розмірність кластера при pc не залежать від типу ґратки (наприклад, від того чи розглядається задача зв'язків чи задача вузлів). Однако, недавні дослідження перколяції на зваженій планарній стохастичній ґратці показали, що попри те, що розмірність ґратки збігається з простором, на якому вона збудована, її клас універсальності відрізняється від класу універсальності всіх відомих планарних ґратках[3][4].

Фази

[ред. | ред. код]

Підкритична та надкритична

[ред. | ред. код]

Основною властивістю підкритичної фази є "експоненціальне згасання". Тобто, коли p < pc, імовірність того, що певний вузол належить відкритому кластеру розміру r за експоненційним законом. Це було доказано для трьох та більшого числа вимірів Меньшиковим[5] 1986 року та незалежно Айзенманам і Барським у 1987[6]. Для двох вимірів це твердження було частиною доказу Кестена, що pc = 1/2[7].

Двоїстий граф квадратної ґратки Z2 є також квадратною ґраткою. Наслідком цього є те, що в двох вимірах надкритична фаза є двоїстою до підритичної перколяції. Цей факт дає повну інформацію для надкритичної фази при d = 2. Головним результатом для надкритичної фази розмірності три і більше є те, що існує нескінчений відкритий кластер на двовимірному зрізі Z2 × [0, N]d−2, як довели Грімметт та Марстран у 1990[8].

У двох вимірах при p < 1/2 існує з імовірністю 1 нескінченний закритий кластер. Тому підкритичну фазу можна описати як скінченні відкритиі острови в нескінченному закритому океані. Коли p > 1/2 ситуація протилежна — закриті острови у відкритому океані. Картина складніша, коли d ≥ 3, оскільки pc < 1/2, і нескінченні закриті та відкриті кластери можуть співіснувати в проміжку p між pc та 1 − pc.

Критична

[ред. | ред. код]

У критичній точці p = pc модель має сингулярність, що вважається степеневою. Теорія масштабування передбачає існування критичного показника, що залежить від розмірності системи d, і що визначає клас сингулярності. Коли d = 2, це припущення підтримується міркуваннями з конформної теорії поля та еволюції Шрамма-Левнера і дає гіпотетичні числові значення для критичних індексів. Більшість з цих припущень мають гіпотетичний характер, крім тих випадків, коли d задовольняє умови d = 2 або  d ≥ 19. Серед них:

  • Не існує нескінченних кластерів (ні відкритих, ні закритих)
  • Імовірність існування відкритого шлаху між фіксованою точкою та іншим вузлом на відстані r спадає поліноміально, тобто пропорційна r α для деякого α
    • Показник α не залежить від конкретного вибору ґратки чи від інших локальних параметрів. Він залежить тільки від розмірності d (це прояв принципу універсальності).
    • αd зменшується від d = 2 до d = 6, а надалі залишається сталим.
    • α2 = −5/48
    • α6 = −1.
  • Форма великого кластера в двовимірній системі конформаційно інваріантна.

Дивіться Grimmett, (1999).[9].

Для розмірності ≥ 19 ці факти доволяться в принципі за допомогою техніки, що називається мереживним розкладом. Вважається, що якась версія мереживного розкладу повинна існувати для розмірності понад 7 і вривати на порогову розмірність 6. Зв'язок між перколяцією та мережевним розкладом можна знайти в роботі Хари та Слейда[10].

Для розмірності 2, факт відсутності протікання в критичній фазі доведено для багатьох ґраток через двоїстість. Значний прогрес у вивченні двовимірної перколяції було зроблено завдяки припущенню Одеда Шрамма, що граничний масштаб для великого кластера можна описати, використовуючи еволюцію Шрамма-Левнера. Цю гіпотезу доказав 2001 року Смирнов[11] для спеціального випадку вузлової перколяції на трикутній ґратці.

Моделі

[ред. | ред. код]
  • Першою вивченою моделлю була перколяція Бернуллі, в якій усі зв'язки незалежні. Фізики її називають перколяцією зв'язків.
  • Узагальнення внесла модель випадкових кластерів Фортюена-Кастелена, що має численні зв'язки з моделлю Ізінга.
  • Перколяція Бернуллі на повному графі є прикладом випадкового графу. Критична імовірність дорівнює p = 1/N, де N є числом вузлів на графі.
  • Бутстреп-перколяція[12] вилучає з кластерів активні вузли, що мають надто мало активних сусідів, а тоді досліджує зв'язність тих вузлів, що залишилисся.
  • Направлена перколяція має відношення до вивчення процесів контакту в математиці.
  • Перколяція першого проходу.
  • Інвазивна перколяція.
  • Перколяція зі зв'язками залежності[13].
  • Перколяція в моделі поширення думок[14].
  • Перколяція при локальній атаці, запропонована Березіним[15].
  • Перколяція вуличного руху[16].
  • Перколяція з відновленням вузлів та зв'язків[17].


Примітки

[ред. | ред. код]
  1. ↑ Broadbent, S. R.; Hammersley, J. M. (2008). Percolation processes. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 53 (03): 629. Bibcode:1957PCPS...53..629B. doi:10.1017/S0305004100032680. ISSN 0305-0041.
  2. ↑ Bollobás, Béla; Riordan, Oliver (2006). Sharp thresholds and percolation in the plane. Random Structures and Algorithms. 29 (4): 524—548. doi:10.1002/rsa.20134. ISSN 1042-9832.
  3. ↑ Hassan, M. K.; Rahman, M. M. (2015). Percolation on a multifractal scale-free planar stochastic lattice and its universality class. Phys. Rev. E. 92: 040101. doi:10.1103/PhysRevE.92.040101.
  4. ↑ Hassan, M. K.; Rahman, M. M. (2016). Universality class of site and bond percolation on multi-multifractal scale-free planar stochastic lattice. Phys. Rev. E. 94: 042109. doi:10.1103/PhysRevE.94.042109.
  5. ↑ Menshikov, (1986)
  6. ↑ Aizenman та Barsky, (1987)
  7. ↑ Kesten, Harry (1982). Percolation Theory for Mathematicians. doi:10.1007/978-1-4899-2730-9.
  8. ↑ Grimmett, G. R.; Marstrand, J. M. (1990). The Supercritical Phase of Percolation is Well Behaved. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 430 (1879): 439—457. Bibcode:1990RSPSA.430..439G. doi:10.1098/rspa.1990.0100. ISSN 1364-5021.
  9. ↑ Grimmett, Geoffrey (1999). Percolation. 321. doi:10.1007/978-3-662-03981-6. ISSN 0072-7830.
  10. ↑ Hara, Takashi; Slade, Gordon (1990). Mean-field critical behaviour for percolation in high dimensions. Communications in Mathematical Physics. 128 (2): 333—391. Bibcode:1990CMaPh.128..333H. doi:10.1007/BF02108785. ISSN 0010-3616.
  11. ↑ Smirnov, Stanislav (2001). Critical percolation in the plane: conformal invariance, Cardy's formula, scaling limits. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics. 333 (3): 239—244. Bibcode:2001CRASM.333..239S. doi:10.1016/S0764-4442(01)01991-7. ISSN 0764-4442.
  12. ↑ Adler, Joan (1991), Bootstrap percolation, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 171 (3): 453—470, doi:10.1016/0378-4371(91)90295-n.
  13. ↑ Parshani, R.; Buldyrev, S. V.; Havlin, S. (2010). Critical effect of dependency groups on the function of networks. Proceedings of the National Academy of Sciences. 108 (3): 1007—1010. arXiv:1010.4498. Bibcode:2011PNAS..108.1007P. doi:10.1073/pnas.1008404108. ISSN 0027-8424. PMC 3024657. PMID 21191103.
  14. ↑ Shao, Jia; Havlin, Shlomo; Stanley, H. Eugene (2009). Dynamic Opinion Model and Invasion Percolation. Physical Review Letters. 103 (1). Bibcode:2009PhRvL.103a8701S. doi:10.1103/PhysRevLett.103.018701. ISSN 0031-9007.
  15. ↑ Berezin, Yehiel; Bashan, Amir; Danziger, Michael M.; Li, Daqing; Havlin, Shlomo (2015). Localized attacks on spatially embedded networks with dependencies. Scientific Reports. 5 (1). doi:10.1038/srep08934. ISSN 2045-2322.
  16. ↑ Li, Daqing; Fu, Bowen; Wang, Yunpeng; Lu, Guangquan; Berezin, Yehiel; Stanley, H. Eugene; Havlin, Shlomo (2015). Percolation transition in dynamical traffic network with evolving critical bottlenecks. Proceedings of the National Academy of Sciences. 112 (3): 669—672. doi:10.1073/pnas.1419185112. ISSN 0027-8424. PMC 4311803. PMID 25552558.
  17. ↑ Majdandzic, Antonio; Podobnik, Boris; Buldyrev, Sergey V.; Kenett, Dror Y.; Havlin, Shlomo; Eugene Stanley, H. (2013). Spontaneous recovery in dynamical networks. Nature Physics. 10 (1): 34—38. doi:10.1038/nphys2819. ISSN 1745-2473.
Отримано з https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорія_протікання&oldid=38332561