Сфера Рімана: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [перевірена версія] |
м →Додаток: категоризація |
Yakudza (обговорення | внесок) м Відкинуто редагування 2A00:23C7:DC8F:3901:AC96:BD5F:B7DC:8FEF (обговорення) до зробленого SalweenBot Мітка: Відкіт |
||
(Не показано 23 проміжні версії 19 користувачів) | |||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
[[Файл:RiemannKugel.svg|thumb|right|Сферу Рімана можна зобразити у вигляді площини комплексних чисел, яка обгорнута довкола сфери (як деяку форму [[Стереографічна проєкція|стереографічної проєкції]] – детально описаної нижче).]] |
|||
'''Сфера Рімана''' — [[ріманова поверхня]], природня структура на розширеній [[комплексна площина|комплексній площині]] <math>\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}</math>, яка є комплексною [[проективний простір|проективною прямою]] <math>\mathbb C\mathbb P^1</math>. |
|||
'''Сфера Рімана''' — [[ріманова поверхня]], природна структура на розширеній [[комплексна площина|комплексній площині]] <math>\widehat{\Complex} = \Complex \cup \{\infty\},</math> яка є комплексною [[проективний простір|проективною прямою]] <math>\Complex \mathbb P^1.</math> Іншими словами це [[Математична модель|модель]] '''розширеної комплексної площини''', де до звичайної [[Комплексна площина|комплексної площини]] додається [[точка на нескінченності]]. Відповідно до моделі Рімана, точка «∞» наближається до дуже великих чисел, так само як точка «0» є близькою до дуже малих чисел. |
|||
Як дійсний многовид [[дифеоморфізм|дифеоморфна]] двовимірній [[сфера|сфері]] <math>\ S^2.</math> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
* афінна комплексна координата ''z'', яка приймає значення <math>\infty</math>; |
* афінна комплексна координата ''z'', яка приймає значення <math>\infty</math>; |
||
* [[ |
* [[проективні координати|проективні комплексні координати]] <math>[z_0:z_1]</math>; |
||
* |
* тривимірні дійсні координати <math>\xi, \eta, \zeta</math>, пов'язані рівнянням: |
||
:<math>\xi^2 + \eta^2 + (\zeta-1)^2 = 1</math>. |
: <math>\xi^2 + \eta^2 + (\zeta-1)^2 = 1</math>. |
||
[[ |
[[Файл:Riemannova koule.png|thumb|right|256px|Сфера Рімана стереографічної проєкції переводиться на площину]] |
||
Перехід від одних координат до інших задається формулами: |
Перехід від одних координат до інших задається формулами: |
||
:<math>z = \frac{z_1}{z_0}</math> |
: <math>z = \frac{z_1}{z_0}</math> |
||
:<math>z_0:z_1 = \left[\begin{matrix}\zeta:( \xi + i\eta ) &\Leftarrow\zeta>0 \\ 0:1 &\Leftarrow\zeta=0\end{matrix}\right.</math> |
: <math>z_0:z_1 = \left[\begin{matrix}\zeta:( \xi + i\eta ) &\Leftarrow\zeta>0 \\ 0:1 &\Leftarrow\zeta=0\end{matrix}\right.</math> |
||
:<math>\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = \frac{2z}{1+|z|^2} \\ \zeta = \frac{2}{1+|z|^2} \end{matrix}\right.</math> |
: <math>\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = \frac{2z}{1+|z|^2} \\ \zeta = \frac{2}{1+|z|^2} \end{matrix}\right.</math> |
||
<math>(\xi, \eta, \zeta)\mapsto z</math> |
<math>(\xi, \eta, \zeta)\mapsto z</math> задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається [[стереографічна проєкція|стереографічною проєкцією]]. |
||
== Перетворення Мебіуса == |
== Перетворення Мебіуса == |
||
[[Автоморфізм]]ами сфери Рімана є ''[[перетворення Мебіуса]]''. Нехай <math>\ a,b,c,d</math> — матриця із <math>GL_2(\Complex)</math>. Її дія на сфері Рімана в термінах проективних комплексних координат — просто множення вектора-стовпця координат на матрицю. В афінних координатах дія виглядає так: |
|||
:<math>z' = \frac{az+c}{bz+d}</math> |
: <math>z' = \frac{az+c}{bz+d}</math> |
||
== Додаток == |
== Додаток == |
||
Сфера Рімана відома в [[теоретична фізика|теоретичній |
Сфера Рімана відома в [[теоретична фізика|теоретичній фізиці]]. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | Перетворення Мебіуса і Лоренца зв'язані також зі [[спінор]]ами. В [[квантова механіка|квантовій механіці]] сфера Рімана параметризує [[Квантовий стан|стани]] систем, описуваних 2-вимірним простором (див. [[Кубіт|q-біт]]), зокрема [[спін]]а [[маса спокою|масивних]] часток з спіном 1/2, таких як [[електрон]]. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | Перетворення Мебіуса і Лоренца |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
В такому випадку вірні співвідношення: |
В такому випадку вірні співвідношення: |
||
:<math>z_0:z_1 = \cos\theta : e^{i\varphi}\sin\theta</math> |
: <math>z_0:z_1 = \cos\theta : e^{i\varphi}\sin\theta</math> |
||
⚫ | |||
== Примітки == |
|||
{{reflist}} |
|||
{{без джерел|дата=січень 2014}} |
|||
⚫ | |||
{{Алгебричні криві}} |
|||
[[Категорія: |
[[Категорія:Ріманові поверхні]] |
||
[[Категорія:Комплексний аналіз]] |
Поточна версія на 17:25, 28 лютого 2023
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/RiemannKugel.svg/220px-RiemannKugel.svg.png)
Сфера Рімана — ріманова поверхня, природна структура на розширеній комплексній площині яка є комплексною проективною прямою Іншими словами це модель розширеної комплексної площини, де до звичайної комплексної площини додається точка на нескінченності. Відповідно до моделі Рімана, точка «∞» наближається до дуже великих чисел, так само як точка «0» є близькою до дуже малих чисел.
Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері
Числові координати на сфері Рімана вводяться трьома способами:
- афінна комплексна координата z, яка приймає значення ;
- проективні комплексні координати ;
- тривимірні дійсні координати , пов'язані рівнянням:
- .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5a/Riemannova_koule.png)
Перехід від одних координат до інших задається формулами:
задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається стереографічною проєкцією.
Автоморфізмами сфери Рімана є перетворення Мебіуса. Нехай — матриця із . Її дія на сфері Рімана в термінах проективних комплексних координат — просто множення вектора-стовпця координат на матрицю. В афінних координатах дія виглядає так:
Сфера Рімана відома в теоретичній фізиці.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Blochsphere.svg/220px-Blochsphere.svg.png)
В спеціальній теорії відносності сфера Рімана є моделлю небесної сфери. Перетворення Мебіуса пов'язані з перетвореннями Лоренца. Перетворення Мебіуса і Лоренца зв'язані також зі спінорами. В квантовій механіці сфера Рімана параметризує стани систем, описуваних 2-вимірним простором (див. q-біт), зокрема спіна масивних часток з спіном 1/2, таких як електрон. В цьому контексті сферу Рімана називають сферою Блоха і використовують на ній координати «широта-довгота» майже як на звичайній сфері, тільки широту відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч. (див. мал.)
В такому випадку вірні співвідношення:
Ця стаття не містить посилань на джерела. (січень 2014) |