Полюс (комплексний аналіз)

Графік показує абсолютну величину гамма-функції. Видно, що функція стає нескінченою в полюсах ліворуч. Праворуч гамма-функція не має полюсів, вона просто швидко зростає

Ізольована особлива точка $z_{0}$ називається полюсом функції $f(z)$, якщо в розкладанні цієї функції в ряд Лорана в проколотому околі точки $z_{0}$ головна частина містить скінчене число відмінних від нуля членів, тобто

$f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\ldots +f_{-1}(z-z_{0})^{-1}$, де $P(z)$ - правильна частина ряду Лорана.

Якщо $f_{-n}\neq \ 0$, то $z_{0}$ називається полюсом порядку $n$. Якщо $n=1$, то полюс називається простим.

Критерії визначення полюса

1. Точка $z_{0}$ є полюсом тоді, і тільки тоді, коли $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)=\infty$.
2. Точка $z_{0}$ є полюсом порядку $k$ тоді і тільки тоді, коли $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k-1}=\infty$, а $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k}\neq \infty$.
3. Точка $z_{0}$ є полюсом порядку $k$ тоді і тільки тоді, коли вона є для функції $F(z)={\frac {1}{f(z)}}$ нулем порядку $k$.

Див. також

• Нуль (комплексний аналіз)