Диференціальне рівняння Бернуллі: відмінності між версіями
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
[неперевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
|||
(Не показані 13 проміжних версій 12 користувачів) | |||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
[[ |
'''Диференціальне рівняння Бернуллі''' — [[диференціальне рівняння]] вигляду: |
||
:<math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,</math>, n≠1, 0. |
:<math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,</math>, n≠1, 0. |
||
назване на честь [[Якоб Бернуллі|Якоба Бернуллі]]. |
|||
називається диференціальним рівнянням Бернуллі |
|||
== Метод розв'язку == |
== Метод розв'язку == |
||
Рядок 12: | Рядок 12: | ||
:<math>w=\frac{1}{y^{n-1}}</math> |
:<math>w=\frac{1}{y^{n-1}}</math> |
||
:<math>w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'</math> |
:<math>w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'</math> |
||
Рядок 19: | Рядок 18: | ||
:<math>\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)</math> |
:<math>\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)</math> |
||
Його можна розв'язати за допомогою [[ |
Його можна розв'язати за допомогою [[інтегрувальний множник|інтегрувального множника]] |
||
:<math>M(x)= e^{(1-n)\int P(x)dx}.</math> |
:<math>M(x)= e^{(1-n)\int P(x)dx}.</math> |
||
Рядок 26: | Рядок 25: | ||
:<math>y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2</math> |
:<math>y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2</math> |
||
Поділимо на <math>y^2</math> |
Поділимо на <math>y^2</math> |
||
:<math>y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2</math> |
:<math>y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2</math> |
||
Заміна змінних |
Заміна змінних |
||
:<math>w = \frac{1}{y}</math> |
:<math>w = \frac{1}{y}</math> |
||
:<math>w' = \frac{-y'}{y^2}.</math> |
:<math>w' = \frac{-y'}{y^2}.</math> |
||
:<math>w' + \frac{2}{x}w = x^2</math> |
:<math>w' + \frac{2}{x}w = x^2</math> |
||
:<math>M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2.</math> |
:<math>M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2.</math> |
||
Помножимо на <math>M(x)</math>, |
Помножимо на <math>M(x)</math>, |
||
:<math>w'x^2 + 2xw = x^4,\,</math> |
:<math>w'x^2 + 2xw = x^4,\,</math> |
||
Рядок 39: | Рядок 40: | ||
:<math>wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C</math> |
:<math>wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C</math> |
||
:<math>\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C</math> |
:<math>\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C</math> |
||
Результат |
Результат |
||
:<math>y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}</math> |
:<math>y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}</math> |
||
== Див. також == |
|||
*[[Рівняння Ріккаті]] |
|||
== Література == |
|||
* {{Самойленко.Перестюк.Парасюк.Диференціальні рівняння}} |
|||
{{Без виносок|дата=квітень 2021}} |
|||
[[Категорія:Математика]] |
|||
[[Категорія:Диференціальні рівняння]] |
|||
[[ar:معادلة بيرنولي التفاضلية]] |
|||
[[bg:Диференциално уравнение на Бернули]] |
|||
[[bs:Bernoullijeva diferencijalna jednačina]] |
|||
[[ca:Equació diferencial de Bernoulli]] |
|||
[[de:Bernoullische Differentialgleichung]] |
|||
[[en:Bernoulli differential equation]] |
|||
[[es:Ecuación diferencial de Bernoulli]] |
|||
[[fr:Équation différentielle de Bernoulli]] |
|||
[[hu:Bernoulli-féle differenciálegyenlet]] |
|||
[[it:Equazione differenziale di Bernoulli]] |
|||
[[km:សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលប៊ែរនូយី]] |
|||
[[ko:베르누이 미분방정식]] |
|||
[[pl:Równanie różniczkowe Bernoulliego]] |
|||
[[pt:Equação diferencial de Bernoulli]] |
|||
[[ru:Дифференциальное уравнение Бернулли]] |
|||
[[zh:伯努利微分方程]] |
|||
{{Ізольована стаття}} |
Поточна версія на 10:25, 9 червня 2024
Диференціальне рівняння Бернуллі — диференціальне рівняння вигляду:
- , n≠1, 0.
назване на честь Якоба Бернуллі.
1. Поділимо ліву і праву частини на
2. Зробимо заміну
3. Розв'язуємо диференціальне рівняння
Його можна розв'язати за допомогою інтегрувального множника
Поділимо на
Заміна змінних
Помножимо на ,
Результат
- Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003). Диференціальні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 600. ISBN 966-06-0249-9.(укр.)
Ця стаття містить перелік джерел, але походження окремих тверджень у ній залишається незрозумілим через практично повну відсутність виносок. (квітень 2021) |