Абелеві рівняння (алгебраїчні)

Абелеві рівняння — спеціальний клас алгебраїчних рівнянь, що розв'язуються в радикалах.

Опис

В своєму мемуарі «Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement» (з французької Про спеціальний клас рівнянь, що розв'язується в радикалах), Абель вказує на три важливі властивості, що притаманні цим типам рівнянь. Вони наступні:

1. Якщо один із коренів незвідного многочлена $f$ раціонально виражається через інший корінь, то розв'язання рівняння $f(x)=0$ зводиться до розв'язування рівнянь менших степенів.
2. Якщо корені незвідного многочлена $f$ мають вигляд $x_{1},$ $\Theta (x_{1}),$ $\Theta ^{2}(x_{1})=\Theta {\big (}\Theta (x_{1}){\big )},\ldots ,\Theta ^{n-1}(x_{1}),$ де $\Theta$ — така раціональна функція, що $\Theta ^{n}(x_{1})=x_{1},$ то рівняння $f(x)=0$ розв'язується в радикалах.
3. Якщо корені незвідного многочлена $f$ мають вигляд $x_{1},$ $\Theta _{2}(x_{1}),$ $\Theta _{3}(x_{1}),\ldots ,\Theta _{n}(x_{1}),$ де $\Theta _{i}$ — такі раціональні функції, що $\Theta _{i}\Theta _{j}(x_{1})=\Theta _{j}\Theta _{i}(x_{1}),$ то рівняння $f(x)=0$ розв'язується в радикалах.

Джерела

• XXV: Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement [Архівовано 19 жовтня 2016 у Wayback Machine.], Про спеціальний клас рівнянь, що розв'язується в радикалах (1829).
• Прасолов В. В. Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.(рос.)