Норма (математика): відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії

[перевірена версія]

[очікує на перевірку]

← Попереднє редагування

Вилучено вміст Додано вміст

ВізуальнийВікірозмітка

Лінійно

Поточна версія на 12:45, 1 березня 2024

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: норма.

Нор́ма — це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора.

Простір із заданою на ньому нормою називається нормованим простором.

Означення норми

Нормою у векторному просторі $V$ над полем $\mathbb {K}$ називають відображення $\|\cdot \|:V\rightarrow \mathbb {R} ,$ що задовольняє наступним умовам:

$\|v\|\geq 0,\quad \|v\|=0$ тільки при $v={\vec {0}}$ (невід'ємність)
$\|rv\|\,=\,|r|\|v\|,\quad$ де $r\in \mathbb {K}$ — скаляр (однорідність)
$\|u+v\|\,\leq \,\|u\|+\|v\|,\quad \forall u,v\in V$ (нерівність трикутника)

Ці умови також відомі як аксіоми норми.

Властивості

За допомогою норми $\|\cdot \|,$ векторний простір $V$ одержує структуру метричного і топологічного нормованого векторного простору. А саме, відстань $d(u,v)=\|u-v\|.$ Зазначимо, що для будь-яких $u,v,w\in V$ виконується $d(u+w,v+w)=d(u,v),$ метрики на векторному просторі $V$ з такою властивістю називаються трансляційно інваріантними. Найважливіший спеціальний випадок — це коли метричний простір $V$ є повним відносно метрики означеної нормою, тобто коли $V$ — повний нормований лінійний простір, або банахів простір.

Геометричний зміст норми

З геометричної думки, задання норми на $V$ — це те й саме, що і задання її одиничної кулі $B(0,1)=\{v\in V:\|v\|\leq 1\},$ тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору $V,$ що містить нульовий вектор ${\vec {0}}$ серед своїх внутрішніх точок.

Приклади

Евклідова норма

Докладніше: Евклідова норма

Нехай $V=\mathbb {R} ^{n}$ — це $n$ -вимірний координатний векторний простір. Евклідова норма на $V$ визначається за формулою $\|u\|={\sqrt {(u,u)}},$ де $(u,v)=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}$ — це стандартний скалярний добуток на $\mathbb {R} ^{n}.$ Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з нерівності Коші-Буняковського у $\mathbb {R} ^{n}.$ Одинична куля цієї норми — це звичайна одинична куля.

Супремум норма

Нехай $V=\mathbb {R} ^{n},$ ⁣ але цього разу визначимо норму за формулою $\|u\|=\operatorname {sup} _{i=1}^{n}|u_{i}|$ (це так звана sup норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб $\{u\in \mathbb {R} ^{n}:|u_{i}|\leq 1,1\leq i\leq n\},$ що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між $-1$ і $1.$

Манхетенська норма

Нехай $V=\mathbb {R} ^{n},$ але цього разу визначимо норму за формулою $\|u\|=\sum _{i=1}^{n}|u_{i}|.$ Як і в попередньому прикладі, аксіоми норми легко перевіряються. Одинична куля цієї норми — це узагальнений октаедр, що є правильним політопом $n$ -вимірного простору полярним до $n$ -вимірного куба.

Еквівалентність норм

Нехай $\|\cdot \|_{1},\,\|\cdot \|_{2}$ — дві норми визначені на одному і тому ж просторі $\!V$ . Якщо існує таке дійсне $C>0,$ що $\|v\|_{1}\leq C\|v\|_{2}$ для будь-якого $v\in V,$ то норма $\|\cdot \|_{1}$ називається підпорядкованою нормі $\|\cdot \|_{2}.$ Якщо водночас і норма $\|\cdot \|_{2}$ підпорядкована нормі $\|\cdot \|_{1}$ , то такі дві норми називаються еквівалентними.

Джерела

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)

@@ Рядок 17: / Рядок 17: @@
 == Властивості ==
-За допомогою норми <math>\|\cdot\|,</math> векторний простір <math> V </math> одержує структуру [[метричний простір|метричного]] і [[Топологічний простір|топологічного нормованого векторного простору]]. А саме, відстань <math>d(u,v)=\|u-v\|.</math> Зазначимо, що для будь-яких <math>u,v,w\in V</math> виконується <math>d(u+w,v+w)=d(u,v),</math> метрики на векторному просторі <math>V</math> з такою властивостю називаються '''трансляційно інваріантними'''. Найважливійший спеціальний випадок&nbsp;— це коли метричний простір <math> V </math> є [[фундаментальна послідовність#Означення|повним]] відносно метрики означеної нормою, тобто коли <math> V </math>&nbsp;— повний нормований лінійний простір, або [[банахів простір]].
+За допомогою норми <math>\|\cdot\|,</math> векторний простір <math> V </math> одержує структуру [[метричний простір|метричного]] і [[Топологічний простір|топологічного нормованого векторного простору]]. А саме, відстань <math>d(u,v)=\|u-v\|.</math> Зазначимо, що для будь-яких <math>u,v,w\in V</math> виконується <math>d(u+w,v+w)=d(u,v),</math> метрики на векторному просторі <math>V</math> з такою властивістю називаються '''трансляційно інваріантними'''. Найважливіший спеціальний випадок&nbsp;— це коли метричний простір <math> V </math> є [[фундаментальна послідовність#Означення|повним]] відносно метрики означеної нормою, тобто коли <math> V </math>&nbsp;— повний нормований лінійний простір, або [[банахів простір]].
 === Геометричний зміст норми ===
+З геометричної думки, задання норми на <math>V</math>&nbsp;— це те й саме, що і задання її '''одиничної кулі''' <math>B(0,1)=\{v\in V:\|v\|\leq 1\},</math> тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми&nbsp;— це [[випукла множина|випукла підмножина]] векторного простору <math>V,</math> що містить [[нульовий вектор]] <math>\vec{0}</math> серед своїх внутрішніх точок.
-З геометричної точки зору, задання норми на <math>V</math>&nbsp;— це те й саме, що і задання
-її '''одиничної кулі''' <math>B(0,1)=\{v\in V:\|v\|\leq 1\},</math> тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми&nbsp;— це [[випукла множина|випукла підмножина]] векторного простору <math>V,</math> що містить [[нульовий вектор]] <math>\vec{0}</math> серед своїх внутрішніх точок.
 == Приклади ==
@@ Рядок 27: / Рядок 26: @@
 === Евклідова норма ===
 {{main|Евклідова норма}}
-Нехай <math>V=\mathbb{R}^n</math>&nbsp;— це <math>n</math>-вимірний координатний векторний простір. '''Евклідова норма''' на <math>V</math> визначається за формулою <math>\|u\|=\sqrt{(u,u)},</math> де <math>(u,v)=\sum_{i=1}^n u_i v_i</math>&nbsp;— це стандартний [[скалярний добуток]] на <math>\mathbb{R}^n.</math> Перші дві аксіоми норми майже очевидні.
+Нехай <math>V=\mathbb{R}^n</math>&nbsp;— це <math>n</math>-вимірний координатний векторний простір. '''Евклідова норма''' на <math>V</math> визначається за формулою <math>\|u\|=\sqrt{(u,u)},</math> де <math>(u,v)=\sum_{i=1}^n u_i v_i</math>&nbsp;— це стандартний [[скалярний добуток]] на <math>\mathbb{R}^n.</math> Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з [[нерівність Коші-Буняковського|нерівності Коші-Буняковського]] у <math>\mathbb{R}^n.</math> Одинична куля цієї норми&nbsp;— це звичайна одинична куля.
-Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з [[нерівність Коші-Буняковського|нерівності Коші-Буняковського]] у <math>\mathbb{R}^n.</math> Одинична куля цієї норми&nbsp;— це звичайна одинична куля.
 === Супремум норма ===
+Нехай <math>V=\mathbb{R}^n,</math>⁣ але цього разу визначимо норму за формулою <math>\|u\|=\operatorname{sup}_{i=1}^n |u_i| </math> (це так звана '''sup''' норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб <math>\{u\in\mathbb{R}^n:|u_i|\leq 1, 1\leq i\leq n\},</math> що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між <math>-1</math> і <math>1.</math>
-Нехай <math>V=\mathbb{R}^n,</math> але цього разу визначимо норму за формулою
-<math>\|u\|=\operatorname{sup}_{i=1}^n |u_i| </math> (це так звана '''sup''' норма).
-Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою
-одиничний куб <math>\{u\in\mathbb{R}^n:|u_i|\leq 1, 1\leq i\leq n\},</math> що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між <math>-1</math> і <math>1.</math>
 === Манхетенська норма ===
@@ Рядок 41: / Рядок 36: @@
 == Еквівалентність норм ==
-Нехай <math>\|\cdot\|_1,\,\|\cdot\|_2</math>&nbsp;— дві норми визначені на одному і тому ж просторі <math>\!V</math>. Якщо існує таке дійсне <math>C>0,</math> що <math>\|v\|_1\leq C\|v\|_2</math>
+Нехай <math>\|\cdot\|_1,\,\|\cdot\|_2</math>&nbsp;— дві норми визначені на одному і тому ж просторі <math>\!V</math>. Якщо існує таке дійсне <math>C>0,</math> що <math>\|v\|_1\leq C\|v\|_2</math> для будь-якого <math>v\in V,</math> то норма <math>\|\cdot\|_1</math> називається ''підпорядкованою'' нормі <math>\|\cdot\|_2.</math> Якщо водночас і норма <math>\|\cdot\|_2</math> підпорядкована нормі <math>\|\cdot\|_1</math>, то такі дві норми називаються ''еквівалентними''.
-для будь-якого <math>v\in V,</math> то норма <math>\|\cdot\|_1</math> називається ''підпорядкованою'' нормі <math>\|\cdot\|_2.</math> Якщо водночас і норма <math>\|\cdot\|_2</math> підпорядкована нормі <math>\|\cdot\|_1</math>, то такі дві норми називаються ''еквівалентними''.
 == Джерела ==

Норма (математика): відмінності між версіями

Поточна версія на 12:45, 1 березня 2024

Зміст

Означення норми