Гранична точка: відмінності між версіями
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
[перевірена версія] | [очікує на перевірку] |
Вилучено вміст Додано вміст
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
м додано Категорія:Граничні множини за допомогою HotCat |
||
(Не показана 1 проміжна версія ще одного користувача) | |||
Рядок 3: | Рядок 3: | ||
== Визначення == |
== Визначення == |
||
Нехай |
Нехай задано [[топологічний простір]] <math>(X,\mathcal{T})</math>, де <math>X</math> — довільна [[множина]], а <math>\mathcal{T}</math> — означена на <math>X</math> [[топологія]]. Нехай також задано підмножину <math>A \subset X</math>. Точка <math>x \in X</math> називається граничною точкою множини <math>A</math>, якщо для будь-якої [[відкрита множина|відкритої множини]] <math>U \in \mathcal{T}</math>, такої що <math>x \in U</math> виконується |
||
: <math>(U \setminus x) \cap A \not= \emptyset</math>. |
: <math>(U \setminus x) \cap A \not= \emptyset</math>. |
||
У |
У разі якщо <math>A \subset \mathbb{R}</math>, [[точка]] <math>x_0</math> називається '''граничною точкою''' множини A, якщо <math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists x \in A \setminus \{x_0\} : |x-x_0| < \varepsilon </math> |
||
Для послідовності точок <math>\{x_n\}</math> в топологічному просторі граниною точкою <math>x</math> буде називатись точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок <math>_n</math> послідовності. |
Для послідовності точок <math>\{x_n\}</math> в топологічному просторі граниною точкою <math>x</math> буде називатись точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок <math>_n</math> послідовності. |
||
== |
== Пов'язані поняття == |
||
* Сукупність всіх граничних точок множини '''A''' називається її '''похідною множиною''' і позначається <math>A'</math>. |
* Сукупність всіх граничних точок множини '''A''' називається її '''похідною множиною''' і позначається <math>A'</math>. |
||
* Об'єднання самої множини '''A''' з її похідною множиною A' називається '''замиканням множини''' і позначається <math>\bar{A}</math> або <math>[A]</math>. |
* Об'єднання самої множини '''A''' з її похідною множиною A' називається '''замиканням множини''' і позначається <math>\bar{A}</math> або <math>[A]</math>. |
||
Рядок 19: | Рядок 20: | ||
* У метричних просторах, якщо '''x''' — гранична точка '''A''', то існує послідовність <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset A</math>, що цілком лежить в '''A''' і така, що <math>x_n \to x</math> при <math>n \to \infty</math>. |
* У метричних просторах, якщо '''x''' — гранична точка '''A''', то існує послідовність <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset A</math>, що цілком лежить в '''A''' і така, що <math>x_n \to x</math> при <math>n \to \infty</math>. |
||
** Топологічні простори, для яких виконується ця властивість, називаються '''простори Фреше — Урисона''' |
** Топологічні простори, для яких виконується ця властивість, називаються '''простори Фреше — Урисона''' |
||
* Не всяка точка множини '''A''' |
* Не всяка точка множини '''A''' мусить бути граничною. І навпаки, гранична точка множини не конче їй належить. |
||
* Будь-яка нескінченна і обмежена підмножина [[евклідів простір|евклідового простору]] має |
* Будь-яка нескінченна і обмежена підмножина [[евклідів простір|евклідового простору]] має хочаб одну граничну точку. |
||
* [[Збіжна послідовність (топологія)|Границя послідовності]] точок в топологічному просторі <math>(X,\mathcal{T})</math> завжи є точкою згущення цієї послідовності, проте в загальному випадку, не кожна гранична точка є границею послідовності. У випадку, якщо для будь-якої граничної точки будь-якої послідовності можливий вибір підпослідовності, що збігається до неї, то топологічний простір <math>(X,\mathcal{T})</math> задовільняє [[перша аксіома зліченності |першу аксіому зліченності]]. |
* [[Збіжна послідовність (топологія)|Границя послідовності]] точок в топологічному просторі <math>(X,\mathcal{T})</math> завжи є точкою згущення цієї послідовності, проте в загальному випадку, не кожна гранична точка є границею послідовності. У випадку, якщо для будь-якої граничної точки будь-якої послідовності можливий вибір підпослідовності, що збігається до неї, то топологічний простір <math>(X,\mathcal{T})</math> задовільняє [[перша аксіома зліченності |першу аксіому зліченності]]. |
||
Рядок 28: | Рядок 29: | ||
[[Категорія:Загальна топологія]] |
[[Категорія:Загальна топологія]] |
||
[[Категорія:Границі]] |
[[Категорія:Границі]] |
||
[[Категорія:Граничні множини]] |
Поточна версія на 15:53, 11 лютого 2023
Гранична точка множини або точка скупчення множини чи точка згущення множини — це така точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок даної множини.
Нехай задано топологічний простір , де — довільна множина, а — означена на топологія. Нехай також задано підмножину . Точка називається граничною точкою множини , якщо для будь-якої відкритої множини , такої що виконується
- .
У разі якщо , точка називається граничною точкою множини A, якщо
Для послідовності точок в топологічному просторі граниною точкою буде називатись точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок послідовності.
- Сукупність всіх граничних точок множини A називається її похідною множиною і позначається .
- Об'єднання самої множини A з її похідною множиною A' називається замиканням множини і позначається або .
- У метричних просторах, якщо x — гранична точка A, то існує послідовність , що цілком лежить в A і така, що при .
- Топологічні простори, для яких виконується ця властивість, називаються простори Фреше — Урисона
- Не всяка точка множини A мусить бути граничною. І навпаки, гранична точка множини не конче їй належить.
- Будь-яка нескінченна і обмежена підмножина евклідового простору має хочаб одну граничну точку.
- Границя послідовності точок в топологічному просторі завжи є точкою згущення цієї послідовності, проте в загальному випадку, не кожна гранична точка є границею послідовності. У випадку, якщо для будь-якої граничної точки будь-якої послідовності можливий вибір підпослідовності, що збігається до неї, то топологічний простір задовільняє першу аксіому зліченності.
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)