Розмірність Лебега

Розмі́рність Ле́бега або топологічна розмірність — розмірність, визначена за допомогою покриттів, найважливіший інваріант топологічного простору. Розмірність Лебега простору $X$, зазвичай позначається $\dim X$.

Визначення

Для метричних просторів

Для компактного метричного простору $X$ розмірність Лебега визначається як найменше ціле число n із такою властивістю, що при будь-якому $\varepsilon >0$ існує скінченне відкрите $\varepsilon$-покриття $X$, що має кратність ≤ n + 1;

При цьому

• $\varepsilon$-покриттям метричного простору називається покриття, усі елементи якого мають діаметр $<\varepsilon$, а
• кратністю скінченного покриття простору $X$ називається таке найбільше ціле число $k$, що існує точка простору $X$, що втримується в k елементах даного покриття.

Для топологічних просторів

Для довільного нормального (зокрема, для метризовного) простору $X$ розмірністю Лебега називається найменше ціле число $n$ таке, що до всякого скінченного відкритого покриття простору $X$ існує вписане в нього (скінченне відкрите) покриття $a$ кратності n+1.

При цьому покриття ${\mathcal {P}}$ називається вписаним у покриття ${\mathcal {Q}}$, якщо кожний елемент покриття ${\mathcal {P}}$ є підмножиною хоча б одного елемента покриття ${\mathcal {Q}}$.

Приклади

• Нульвимірні простори: одноточковий простір, дискретний простір, множина Кантора.
• Одновимірні простори: коло, серветка Серпінського, килим Серпінського, губка Менгера
  • Див. також крива Урисона

Історія

Вперше топологічна розмірність введена Анрі Лебегом. Він висловив гіпотезу, що розмірність $n$-мірного куба дорівнює $n$. Л. Брауер вперше довів це. Точне визначення інваріанту $\dim X$ (для класу метричних компактів) дав П. С. Урисон.

Див. також

• Фрактал
• Розмірність Гаусдорфа
• Міра множини