Сфера Рімана: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [перевірена версія] |
Addbot (обговорення | внесок) |
IvanBot (обговорення | внесок) м →Додаток: replaced: см. р → см р |
||
Рядок 29: | Рядок 29: | ||
В [[спеціальна теорія відносності|спеціальній теорії відносності]] сфера Рімана є моделлю [[небесна сфера|небесної сфери]]. Перетворення Мебіуса пов’язані з [[перетворення Лоренца|перетвореннями Лоренца]]. |
В [[спеціальна теорія відносності|спеціальній теорії відносності]] сфера Рімана є моделлю [[небесна сфера|небесної сфери]]. Перетворення Мебіуса пов’язані з [[перетворення Лоренца|перетвореннями Лоренца]]. |
||
Перетворення Мебіуса і Лоренца зв’язані також зі [[спінор]]ами. В [[квантова механіка|квантовій механіці]] сфера Рімана параметризує [[стан (квантова механіка)|стани]] систем, описуваних 2-вимірним простором (див. [[q-біт]]), зокрема [[спін]]а [[маса спокою|масивних]] часток з спіном 1/2, таких як [[електрон]]. |
Перетворення Мебіуса і Лоренца зв’язані також зі [[спінор]]ами. В [[квантова механіка|квантовій механіці]] сфера Рімана параметризує [[стан (квантова механіка)|стани]] систем, описуваних 2-вимірним простором (див. [[q-біт]]), зокрема [[спін]]а [[маса спокою|масивних]] часток з спіном 1/2, таких як [[електрон]]. |
||
В цьому контексті сферу Рімана називають ''сферою Блоха'' і використовують на ній координати «широта-довгота» майже як на звичайній сфері, тільки широту <math>\theta</math> відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч. <math>0<\theta<\pi/2</math> (см |
В цьому контексті сферу Рімана називають ''сферою Блоха'' і використовують на ній координати «широта-довгота» майже як на звичайній сфері, тільки широту <math>\theta</math> відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч. <math>0<\theta<\pi/2</math> (см рис.) |
||
[[Файл:Blochsphere.svg|thumb|right]] |
[[Файл:Blochsphere.svg|thumb|right]] |
||
В такому випадку вірні співвідношення: |
В такому випадку вірні співвідношення: |
Версія за 10:56, 12 серпня 2013
Сфера Рімана — ріманова поверхня, природня структура на розширеній комплексній площині яка є комплексною проективною прямою
Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері
Координати
Числові координати на сфері Рімана вводяться трьома способами:
- афінна комплексна координата z, яка приймає значення ;
- проективні комплексні координати ;
- тривимірні дійсні координати , пов’язані рівнянням:
- .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5a/Riemannova_koule.png)
Перехід від одних координат до інших задається формулами:
задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається стереографічною проекцією.
Перетворення Мебіуса
Автоморфізмами сфери Рімана є перетворення Мебіуса. Нехай — матриця із . Її дія на сфері Рімана в термінах проективних комплексних координат — просто множення вектора-стовпця координат на матрицю. В афінних координатах дія виглядає так:
Додаток
Сфера Рімана відома в теоретичній фізиці.
В спеціальній теорії відносності сфера Рімана є моделлю небесної сфери. Перетворення Мебіуса пов’язані з перетвореннями Лоренца. Перетворення Мебіуса і Лоренца зв’язані також зі спінорами. В квантовій механіці сфера Рімана параметризує стани систем, описуваних 2-вимірним простором (див. q-біт), зокрема спіна масивних часток з спіном 1/2, таких як електрон. В цьому контексті сферу Рімана називають сферою Блоха і використовують на ній координати «широта-довгота» майже як на звичайній сфері, тільки широту відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч. (см рис.)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Blochsphere.svg/220px-Blochsphere.svg.png)
В такому випадку вірні співвідношення: