Теорія протікання: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Інтерактивний перегляд історії
[перевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Рядок 28: Рядок 28:
===Критична===
===Критична===


У критичній точці ''p''&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>c</sub> модель тає сингулярність, що вважається степеневою. Теорія масштабування передбачає існування [[критичні індекси|критичного показника]], що залежить від розмірності системи ''d'', і що визначає клас сингулярності. Коли ''d''&nbsp;=&nbsp;2, це припущення підтримується міркуваннями з [[конформна теорія поля|конформної теорії поля]] та [[еволюція Шрамма-Левнера|еволюції Шрамма-Левнера]] і дає гіпотетичні числові значення для критичних індексів. Більшість з цих припущень мають гіпотетичний характер, крім тих випадків, коли ''d'' задовольняє умови ''d''&nbsp;=&nbsp;2 або &nbsp;''d''&nbsp;≥&nbsp;19. Серед них:
У критичній точці ''p''&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>c</sub> модель має [[особлива точка|сингулярність]], що вважається степеневою. Теорія масштабування передбачає існування [[критичні індекси|критичного показника]], що залежить від розмірності системи ''d'', і що визначає клас сингулярності. Коли ''d''&nbsp;=&nbsp;2, це припущення підтримується міркуваннями з [[конформна теорія поля|конформної теорії поля]] та [[еволюція Шрамма-Левнера|еволюції Шрамма-Левнера]] і дає гіпотетичні числові значення для критичних індексів. Більшість з цих припущень мають гіпотетичний характер, крім тих випадків, коли ''d'' задовольняє умови ''d''&nbsp;=&nbsp;2 або &nbsp;''d''&nbsp;≥&nbsp;19. Серед них:


<!---
<!---

Версія за 06:45, 9 травня 2017

Тривимірний граф вузлів.

Теорія протікання або теорія перколяції — математична теорія, яка описує властивості зв'язаних кластерів на випадковому графі. Теорія знайшла застосування в описі явища перколяції в статистичній фізиці та матеріалознавстві.

Вступ

Назва теорії, що відображає її мету, походить з такої задачі. Нехай в пористий матеріал заливається рідина. Чи просочиться вона через мережу пор аж до протилежного боку? Математично цю фізичну задачу моделюють тривимірною мережею на ґратці розмірністю n × n × n вузлів. Сусідні вузли сполучені між собою шляхами, які можуть з імовірністю p бути відкритими. Яка ймовірність того, що в системі існує наскрізний ланцюжок відкритих шляхів? Особливо цікава поведінка при великих n. Поставлена так задача, що отримала назву перколяції зв'язків, була сформульована Бродбентом та Гаммерслі в 1950-х[1], після чого почалося й продовжується її дослідження фізиками та математиками.

Дещо по іншому формулюється задача перколяції вузлів. Припускається, що вузол може бути з імовірністю p заповненим. В протилежному випадку він є порожнім. Питання не змінюється: яка імовірність існування наскрізного графу? Або по іншому: при якому p порожні вузли стануть незв'язаними?

Задачу можна розв'язувати для ґратки будь-яких розмірів. Насправді її легше розв'язати для нескінченної ґратки. У цьому випадку питання ставиться так: чи існує нескінченний відкритий кластер? За законом нуля і одиниці Колмогорова для заданого p імовірність існування нескінченного кластера може бути або нулем, або одиницею. Оскільки ймовірність монотонно зростає з ростом p, повинна існувати порогова, критична йомовірність pc, нижче якої імовірність існуння нескінченного кластера завжди нуль, а вище - одиниця. Цю критичність дуже легко спостерігати на практиці. Навіть для невеликого n = 100, ймовірність відкритого наскрізного шляху дуже різко зростає від майже нульових значень, до майже одиничних, у дуже невеличкому проміжку p.

Перколяція зв'язків на двовимірній квадратній ґратці при ймовірності p = 0,51.


У деяких випадках pc можна розрахувати точно. Наприклад, для двовимірної квадратної ґратки Z2 в задачі зв'язків pc = 1/2. Цей факт залишався недоведеним упродовж 20 років, доки на початку 1908-х роз'язок не знайшов Гаррі Кестен[2]. Граничний випадок ґраток із багатьма розмірностями дається ґраткою Бете, для якої поріг становить pc = 1/(z − 1), де z — координаційне число. Для більшості нескінченних графів точного значення pc знайти неможливо.

Універсальність

Принцип універсальності стверджує, що числове значення pc визначається локальною структурою графа, тоді як поведінка кластерів нижче і вище критичного значення не залежить від локальної структури, а тому в певному сенсі цю поведінку розглядати природніше, ніж саме pc. Універсальність означає також, що для заданої розмірності різні критичні індекси, фрактальна розмірність кластера при pc не залежать від типу ґратки (наприклад, від того чи розглядається задача зв'язків чи задача вузлів). Однако, недавні дослідження перколяції на зваженій планарній стохастичній ґратці показали, що попри те, що розмірність ґратки збігається з простором, на якому вона збудована, її клас універсальності відрізняється від класу універсальності всіх відомих планарних ґратках[3][4].

Фази

Підкритична та надкритична

Основною властивістю підкритичної фази є "експоненціальне згасання". Тобто, коли p < pc, імовірність того, що певний вузол належить відкритому кластеру розміру r за експоненційним законом. Це було доказано для трьох та більшого числа вимірів Меньшиковим[5] 1986 року та незалежно Айзенманам і Барським у 1987[6]. Для двох вимірів це твердження було частиною доказу Кестена, що pc = 1/2[7].

Двоїстий граф квадратної ґратки Z2 є також квадратною ґраткою. Наслідком цього є те, що в двох вимірах надкритична фаза є двоїстою до підритичної перколяції. Цей факт дає повну інформацію для надкритичної фази при d = 2. Головним результатом для надкритичної фази розмірності три і більше є те, що існує нескінчений відкритий кластер на двовимірному зрізі Z2 × [0, N]d−2, як довели Грімметт та Марстран у 1990[8].

У двох вимірах при p < 1/2 існує з імовірністю 1 нескінченний закритий кластер. Тому підкритичну фазу можна описати як скінченні відкритиі острови в нескінченному закритому океані. Коли p > 1/2 ситуація протилежна — закриті острови у відкритому океані. Картина складніша, коли d ≥ 3, оскільки pc < 1/2, і нескінченні закриті та відкриті кластери можуть співіснувати в проміжку p між pc та 1 − pc.

Критична

У критичній точці p = pc модель має сингулярність, що вважається степеневою. Теорія масштабування передбачає існування критичного показника, що залежить від розмірності системи d, і що визначає клас сингулярності. Коли d = 2, це припущення підтримується міркуваннями з конформної теорії поля та еволюції Шрамма-Левнера і дає гіпотетичні числові значення для критичних індексів. Більшість з цих припущень мають гіпотетичний характер, крім тих випадків, коли d задовольняє умови d = 2 або  d ≥ 19. Серед них:


Виноски

  1. ↑ Broadbent, S. R.; Hammersley, J. M. (2008). Percolation processes. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 53 (03): 629. Bibcode:1957PCPS...53..629B. doi:10.1017/S0305004100032680. ISSN 0305-0041.
  2. ↑ Bollobás, Béla; Riordan, Oliver (2006). Sharp thresholds and percolation in the plane. Random Structures and Algorithms. 29 (4): 524—548. doi:10.1002/rsa.20134. ISSN 1042-9832.
  3. ↑ Hassan, M. K.; Rahman, M. M. (2015). Percolation on a multifractal scale-free planar stochastic lattice and its universality class. Phys. Rev. E. 92: 040101. doi:10.1103/PhysRevE.92.040101.
  4. ↑ Hassan, M. K.; Rahman, M. M. (2016). Universality class of site and bond percolation on multi-multifractal scale-free planar stochastic lattice. Phys. Rev. E. 94: 042109. doi:10.1103/PhysRevE.94.042109.
  5. ↑ Menshikov, (1986)
  6. ↑ Aizenman та Barsky, (1987)
  7. ↑ Kesten, Harry (1982). Percolation Theory for Mathematicians. doi:10.1007/978-1-4899-2730-9.
  8. ↑ Grimmett, G. R.; Marstrand, J. M. (1990). The Supercritical Phase of Percolation is Well Behaved. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 430 (1879): 439—457. Bibcode:1990RSPSA.430..439G. doi:10.1098/rspa.1990.0100. ISSN 1364-5021.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Отримано з https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорія_протікання&oldid=20274766