CW-комплекс

CW-комплекс — тип топологічних просторів, запропонований Джоном Уайтхедом для потреб теорії гомотопій. Цей клас просторів ширший і має деякі кращі категоріальні властивості, ніж симпліціальні комплекси, але так само зберігає комбінаторну природу, яка дозволяє обчислення (часто за допомогою значно меншого комплексу).

Означення

Грубо кажучи, CW-комплекс будується з базових блоків — клітин. Точне визначення вказує, як ці клітини можна топологічно склеювати між собою.

n-вимірна замкнена клітина є образом n-вимірної замкненої кулі за відображення прилаштування. Наприклад, симплекс є замкненою клітиною, і більш загально, опуклий багатогранник є замкненою клітиною. n-вимірна відкрита клітина — топологічний простір, гомеоморфний відкритій кулі. 0-вимірна відкрита (та замкнена) клітина є сінґлетоном.

CW-комплекс є гаусдорфовим простором X разом з розбиттям X на відкриті клітини (можливо, різної розмірності), що задовольняє дві додаткові умови:

• Для будь-якої n-вимірної відкритої клітини C у розбитті X, існує неперервне відображення f з n-вимірної замкненої кулі до X таке, що
  • обмеження f на внутрішню частину замкненої кулі є гомеоморфізмом на клітину C, і
  • образ границі замкненої кулі міститься в об'єднанні скінченної кількості елементів розбиття, кожний з яких має кліткову розмірність, меншу за n.
• Підмножина X є замкненою тоді і тільки тоді, коли містить замикання кожної клітини замкненої множини.

Індуктивне визначення CW-комплексів

Якщо найбільша розмірність його клітин є n, то кажемо, що CW-комплекс має розмірність n. Якщо розмірності його клітин не мають обмеження зверху, то кажемо, що комплекс є нескінченновимірним. n-кістяк CW-комплекса — об'єднання всіх клітин розмірності не більше n. Якщо об'єднання множини клітин замкнене, то воно теж є CW-комплексом, і називаєтся підкомплексом. Отож, n-кістяк — найбільший підкомплекс розмірності n чи менше.

CW-комплекс часто конструюється шляхом визначення його кістяків індуктивно. Почнемо, взявши за 0-кістяк деякий дискретний простір. Далі приклеїмо 1-клітини до 0-кістяку. Тут 1-клітини приклеюються до точок 0-кістяка неперервним відображенням з одиничних 0-сфер, тобто, $S_{0}$. Визначимо 1-кістяк як фактор-простір, отриманий з об'єднання 0-кістяка та 1-клітин ототожненням точок границі 1-клітин фактор-відображенням точок границі 1-клітин в 1-клітини. В загальному випадку, взявши (n − 1)-кістяк і набір замкнених n-клітин, n-клітини приклеюються до (n − 1)-кістяка деяким неперервним відображенням з $S_{n-1}$, і ототожненням шляхом вказання відображень з границі кожної n-клітини у (n − 1)-кістяк. n-кістяк є фактор-простором, отриманим з об'єднання (n − 1)-кістяків і замкнених n-клітин ототожненням кожної точки границі n-клітини з її образом.