Теорія автоматів

Тео́рія автома́тів — логіко-математична теорія, об'єктом дослідження якої є абстрактні дискретні автомати — покрокові перетворювачі інформації; розділ теоретичної кібернетики.

Виникнення

Виникнення й розвиток теорії автоматів пов'язані зі створенням технічних засобів автоматичного керування, проектуванням складних дискретних обчислювальних систем з програмним керуванням, розробкою математичних моделей процесів переробки інформації в складних динамічних системах тощо.

Як цілісна конструктивна структурна теорія теорія автоматів склалася на початку 50-х рр. XX сторіччя.

Завдання, що вирішує теорія автоматів

Коло проблем, що розв'язуються теорією автоматів, досить широке: від проблем «геделівського типу» (повнота, розв'язність тощо) до проблем самовдосконалення, самоорганізації, самопроектування ЕЦОМ включно.

У дискретній математиці, інформатиці, теорія автоматів вивчає абстрактні машини у вигляді математичних моделей, і проблеми, які вони можуть вирішувати.

Способи задання автоматів

1. Табличний спосіб

При табличному способі завдання автомат Мілі описується двома таблицями: таблицею переходів і таблицею виходів. 

Таблиця переходів

x j \ a i	a 0	…	a n
x 1	d (a 0, x 1)	…	d (a n, x 1)
…	…	…	…
x m	d (a 0, x m)	…	d (a n, x m)

Таблиця виходів:

x j \ a i	a 0	…	a n
x 1	(a 0, x 1)	…	(a n, x 1)
…	…	…	…
x m	(a 0, x m)	…	(a n, x m)

 Рядки цих таблиць відповідають вхідним сигналам x (t), а стовпці — станам. На перетині стовпця a _i і рядки x _j в таблиці переходів ставиться стан a _s = d [a _i, x _j], в які автомат перейде зі стану a _i під впливом сигналу x _j; а в таблиці виходів — відповідний цьому переходу вихідний сигнал y _g = l [a _i, x _j]. Іноді автомат Мілі задають суміщеною таблицею переходів і виходів, вона в деяких випадках більш зручна. 

Суміщена таблиця переходів і виходів автомата Мілі.

x j \ a i	a 0	…	a n
x 1	d (a 0, x 1) \ (a 0, x 1)	…	d (a n, x 1) \  (a n, x 1)
…	…	…	,..
x m	d (a 0, x m) \  (a 0, x m)	…	d (a n, x m) \  (a n, x m)

            

   Завдання таблиць переходів і виходів повністю описує роботу кінцевого автомата, оскільки задаються не тільки самі функції переходів і виходів, але також і всі три алфавіту: вхідний, вихідний і алфавіт станів. Так як в автоматі Мура вихідний сигнал однозначно визначається станом автомата, то для його завдання потрібно тільки одна таблиця, яка називається зазначеної таблицею переходів автомата Мура. 

Зазначена таблиця переходів автомата Мура 

y g	l (a 0)	…	l (a n)
x j \ a c	a 0	…	a n
x 1	d (a 0, x1)	…	…
x m	d (a 0, xm)	…	d (a n, xm)

  У цій таблиці кожному стовпцю приписаний, крім стану a _i, ще й вихідний сигнал y (t) = l (a (t)), що відповідає цьому стану. Таблиця переходів автомата Мура називається зазначеної тому, що кожний стаан відзначено вихідним сигналом. Приклади табличного завдання автоматів Мілі і Мура. 

Автомат Мура: 

yg	y 2	y 1	y 3	y 3	y 2
x j \ x j	a 0	a 1	a 2	a 3	a 4
x 1	a 2	a 1	a 3	a 4	a 2
x 2	a 3	a 4	a 4	a 0	a 1

Автомат Мілі:  

x j \ a i	a 0	a 1	a 2	a 3
x 1	a 1 / y 1	a 2 / y3	a 3 / y2	a 0 / y1
x 2	a 0 / y 2	a 0 / y1	a 3 / y1	a 2 / y3

      

По цим таблицям можна знайти реакцію автомата на будь яке вхідне слово.   

2. Графічний спосіб

Файл:Граф для для автомата Мура.png

Граф для для автомата Мура

Файл:Автомат Мура й еквівалентний йому автомат Мілі.jpg

Автомат Мілі є еквівалентним автомату Мура

При графічному способі завдання автомата здійснюється за допомогою графа. Цей спосіб заснований на використанні орієнтованих зв'язкових графів. Вершини графів відповідають станам автомата, а дуги — переходам між ними. Дві вершини графа a _i і a _s з'єднуються дугою, спрямованої від a _i до a _s, якщо в автоматі є перехід з a _i в a _s,тобто a _s = d (a _i, x _j). В автоматі Мілі дуга відзначається вхідним сигналом x _j, що викликав перехід, і вихідним сигналом y _g, який виникає при переході. Усередині кружечка, що позначає вершину графа, записується стан. 

Синтез автоматів

У синтезі автоматів формують систему з елементарних автоматів, еквівалентну заданому абстрактному автомату. Такий автомат називається структурним.

Проектування ЕЦОМ залишається основною сферою практичного застосування теорії автоматів. Завдяки успішному розв'язанню проблеми спряження етапів абстрактного й структурного синтезів, досягненням теорії надійного і блокового синтезу стало можливим викласти теорію синтезу цифрових автоматів як єдину математичну теорію, яка в перспективі повинна охопити як єдине ціле усі ЕЦОМ з будь-яким числом їхніх станів.

Тенденції

Сучасній теорії автоматів властива тенденція до інтенсивного розвитку насамперед тих її розділів, які виникли скоріше у зв'язку з внутрішньою необхідністю розробки апарату самої теорії, ніж завдяки практичним потребам. У широкому розумінні теорія автоматів охоплює не лише теорію дискретних, а й теорії неперервних (аналогових) і гібридних автоматів.

Література

• «Енциклопедія кібернетики», відповідальний ред. В. Глушков, 2 тт., 1973, рос. вид. 1974;
• Філософський словник / за ред. В. І. Шинкарука. — 2-ге вид., перероб. і доп. — К. : Головна ред. УРЕ, 1986.

Див. також

Автомат скінченний Регулярний вислів Автоматів суперпозиція Автомат мікропрограмний Автомат лінійний Автомат вільний

Автомат без пам'яті Автомат частковий Автомат операційний Автомат мінімальний Структурна теорія автоматів