Зв'язний простір

Зв'язані і незв'язані простори в R². Простір A зверху є зв'язним; затемнений простір B внизу — не є.

Зв'язаний простір — топологічний простір, який не може бути представлений у вигляді об'єднання без перетинів двох непорожніх відкритих просторів. Зв'язаність є однією з основних топологічних властивостей, що застосовуються для розрізнення топологічних просторів.

Зазвичай достатньо просто думати про те, що не є зв'язаним. Простим прикладом може бути простір, що складається з двох прямокутників, кожен з яких є простором, і не перетинається з іншим. Простір не є зв'язаним, тому що два прямокутники не зв'язані. Можна також навести ще один простий приклад простору, в якому вирізали кільце. Простір не є зв'язаним тому що ми не можемо з'єднати дві точки, одна з яких лежить у кільці, а інша ззовні.

Формальне означення

Наступні означення є еквівалентні між собою. Топологічний простір $(X,\mathrm {T} )$ називається зв'язним, якщо:

1. Єдиними одночасно відкритими і замкнута множинами є лише $X$ та $\emptyset$
2. $X$ не може бути подана як об'єднання двох не порожніх розділених множин
3. $X$ не може бути поділена на дві замкнені непорожні множини без перетинів
4. Єдиними множинами, границя яких є пустою є лише $X$ та $\emptyset$

$\mathbb {R}$ із стандартною топологією є зв'язаним топологічним простором.