Стійкість (динамічні системи): відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
матиматиці -> математиці |
GHewhew (обговорення | внесок) |
||
Рядок 11: | Рядок 11: | ||
При будь-яких <math>(t_0, x_0) \in I \times \Omega</math> існує єдине рішення ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' системи (1), задовольняюче початковим умовам ''x(t<sub>0</sub>, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub>.'' Будемо припускати, що рішення ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' визначено на інтервалі <math>J^+ = [t_0; \infty)</math>, причому <math>J^+ \subset I</math>. |
При будь-яких <math>(t_0, x_0) \in I \times \Omega</math> існує єдине рішення ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' системи (1), задовольняюче початковим умовам ''x(t<sub>0</sub>, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub>.'' Будемо припускати, що рішення ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' визначено на інтервалі <math>J^+ = [t_0; \infty)</math>, причому <math>J^+ \subset I</math>. |
||
Нехай дані також дві динамічні системи: |
|||
<math>\dot{X}(t)=F(X(t-\tau)),\quad\quad \tau=\mathrm{const}>0;</math> (2) |
|||
<math>\dot{X}(t)=F(X(t-\tau))+\mathfrak{F}(t,X_{t}).</math> (3) |
|||
Кожне рішення <math>X(t,t_{0},\varphi)</math> системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом <math>t_{0}</math> та початковою вектор-функцією <math>\varphi(\xi),</math> де <math>X(t_{0}+\xi,t_{0},\varphi)=\varphi(\xi)</math> за <math>\xi\in[-\tau,0].</math> Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції <math>\varphi(\xi)</math> належать простору <math>PC[-\tau,0]</math> шматочно-неперервних за <math>\xi\in[-\tau,0]</math> функцій із рівномірною нормою <math>||\varphi||_{\tau}=\underset{\xi\in[-\tau,0]}{\sup}||\varphi(\xi)||,</math> де <math>||\cdot||</math> - евклідова норма вектора. |
|||
Функціонал <math>\mathfrak{F}(t,\varphi)</math> заданий й є неперервним у області |
|||
<math>\{t\in\mathbb{E}:t\geq0\}\times\Omega_{H},</math> |
|||
де <math>\Omega_{H}</math> - множина функцій <math>\varphi(\xi)\in PC[-\tau,0],</math> які задовільняють умові <math>||\varphi||_{\tau}<H,\,\,(H=\mathrm{const}>0).</math> Припустимо, у цій області є справедливою оцінка |
|||
<math>||R(t,\varphi)||\leq\beta(||\varphi||_{\tau}^{\sigma}),\quad\quad\beta>0,\,\,\sigma>0.</math> |
|||
Відтак система (3) має рішення <math>X(t)\equiv0.</math> |
|||
== Стійкість за Ляпуновим == |
== Стійкість за Ляпуновим == |
||
Тривіальне рішення ''x = 0'' системи (1) називається стійким по [[Ляпунов Олександр Михайлович|Ляпунову]], якщо для будь-яких <math>t_0 \in I</math> і <math>\varepsilon > 0</math> існує <math>\delta > 0</math>, залежне тільки від ''ε'' и ''t<sub>0</sub>'' і не залежить від ''t'', таке, що для будь-якого ''x<sub>0</sub>'', для котрого <math>\|x_0\| < \delta</math>, рішення ''x'' системи з початковими умовами x(t<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub> триває на всю піввісь t > t<sub>0</sub> і задовольняє нерівності <math>\|x(t)\| < \varepsilon</math>. |
Тривіальне рішення ''x = 0'' системи (1) називається стійким по [[Ляпунов Олександр Михайлович|Ляпунову]], якщо для будь-яких <math>t_0 \in I</math> і <math>\varepsilon > 0</math> існує <math>\delta > 0</math>, залежне тільки від ''ε'' и ''t<sub>0</sub>'' і не залежить від ''t'', таке, що для будь-якого ''x<sub>0</sub>'', для котрого <math>\|x_0\| < \delta</math>, рішення ''x'' системи з початковими умовами x(t<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub> триває на всю піввісь t > t<sub>0</sub> і задовольняє нерівності <math>\|x(t)\| < \varepsilon</math>. |
||
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math> |
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>. |
||
Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь |
|||
<math>\dot{X}(t)=F(X(t)),</math> (4) |
|||
де <math>X(t)</math> - n-вимірний вектор, компоненти векторної функції <math>F(X)</math> визначені й неперервно диференційовані за усіх <math>X\in\mathbb{E}^{n}</math> та є однорідними функціями порядку <math>\mu\geq1.</math> Відтак система (4) має рішення <math>X(t)\equiv0.</math> |
|||
Розгляньмо функцію Ляпунова <math>V(X),</math> яка має наступні властивості: |
|||
* <math>V(X)</math> неперервно диференційована; |
|||
* <math>V(X)</math> додатно визначена; |
|||
* <math>V(X)</math> - однорідна функція порядку <math>\gamma>1</math>; |
|||
* справедлива рівність <math>(\frac{\partial V(X)}{\partial X})^{T}F(x)=-||X||^{\gamma+\mu-1}.</math> |
|||
Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) <math>t\geq0,\,\,||X_{t}||_{\tau}<H</math> маємо |
|||
<math>\dot{V}|_{(3)}=(\frac{\partial V(X(t))}{\partial X})^{T}F(X(t))+(\frac{\partial V(X(t))}{\partial X})^{T}(F(X(t))+R(t,X_{t}))\leq -||X(t)||^{\gamma+\mu-1}+b_{1}||X(t)||^{\gamma-1}(||F(X(t-\tau))-F(X(t))||+\beta(||X_{t}||_{\tau})^{\sigma}),</math> |
|||
де <math>b_{1}=\mathrm{const}>0.</math> Нехай нульове рішення системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність <math>\sigma>\mu>1,</math> то нульове рішення системи (3) є асимпотично стійким за будь-якого значення <math>\tau>0.</math> |
|||
== Рівномірна стійкість по Ляпунову == |
=== Рівномірна стійкість по Ляпунову === |
||
Тривіальне рішення ''x = 0'' системи (1) називається рівномірно стійким по Ляпунову, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε: |
Тривіальне рішення ''x = 0'' системи (1) називається рівномірно стійким по Ляпунову, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε: |
||
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math> |
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math> |
||
== Нестійкість по Ляпунову == |
=== Нестійкість по Ляпунову === |
||
Тривіальне рішення ''x = 0'' системи (1) називається нестійким по Ляпунову, якщо: |
Тривіальне рішення ''x = 0'' системи (1) називається нестійким по Ляпунову, якщо: |
||
Версія за 09:08, 25 червня 2020
В математиці, рішення диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка рішень з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного рішення. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість по Ляпунову, асимптотичну стійкість і т.д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального рішення в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.
Постановка завдання стійкості динамічних систем
Нехай — область простору , що містить початок координат, , де . Розглянемо систему (1) виду:
(1)
При будь-яких існує єдине рішення x(t, t0, x0) системи (1), задовольняюче початковим умовам x(t0, t0, x0) = x0. Будемо припускати, що рішення x(t, t0, x0) визначено на інтервалі , причому .
Нехай дані також дві динамічні системи:
(2)
(3)
Кожне рішення системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом та початковою вектор-функцією де за Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції належать простору шматочно-неперервних за функцій із рівномірною нормою де - евклідова норма вектора.
Функціонал заданий й є неперервним у області
де - множина функцій які задовільняють умові Припустимо, у цій області є справедливою оцінка
Відтак система (3) має рішення
Стійкість за Ляпуновим
Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається стійким по Ляпунову, якщо для будь-яких і існує , залежне тільки від ε и t0 і не залежить від t, таке, що для будь-якого x0, для котрого , рішення x системи з початковими умовами x(t0) = x0 триває на всю піввісь t > t0 і задовольняє нерівності .
.
Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь
(4)
де - n-вимірний вектор, компоненти векторної функції визначені й неперервно диференційовані за усіх та є однорідними функціями порядку Відтак система (4) має рішення
Розгляньмо функцію Ляпунова яка має наступні властивості:
- неперервно диференційована;
- додатно визначена;
- - однорідна функція порядку ;
- справедлива рівність
Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) маємо
де Нехай нульове рішення системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність то нульове рішення системи (3) є асимпотично стійким за будь-якого значення
Рівномірна стійкість по Ляпунову
Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким по Ляпунову, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:
Нестійкість по Ляпунову
Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається нестійким по Ляпунову, якщо:
Асимптотична стійкість
Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо воно стійке по Ляпунову і виконується умова для всякого x з початковою умовою x0, лежачим в досить малій околиці нуля.
Еквіасимптотична стійкість
Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно притягуюче.
Рівномірна асимптотична стійкість
Тривіальне рішення системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо воно стійке і еквіпритягаюче.
Асимптотична стійкість в цілому
Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким в цілому, якщо воно стійке і глобальнопритягуюче.
Рівномірна асимптотична стійкість в цілому
Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким в цілому, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно-глобальнопритягуюче.
Див. також
- Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги
Література
- Беллман Р. {{{Заголовок}}}.
- Четаев Н. Г. {{{Заголовок}}}.
- Красовский Н. Н. {{{Заголовок}}}.
- Малкин И. Г. {{{Заголовок}}}.
- Демидович Б. П. {{{Заголовок}}}.
- Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. {{{Заголовок}}}. — ISBN 5-06-004162-X..
- Филиппов А. Ф. {{{Заголовок}}}.