Сфера Рімана

Сферу Рімана можна зобразити у вигляді площини комплексних чисел, яка обгорнута довкола сфери (як деяку форму стереографічної проекції – детально описаної нижче).

Сфера Рімана — ріманова поверхня, природна структура на розширеній комплексній площині ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \},$ яка є комплексною проективною прямою $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}.$ Іншими словами це модель розширеної комплексної площини, де до звичайної комплексної площини додається точка на нескінченності. Відповідно до моделі Рімана, точка «∞» наближається до дуже великих чисел, так само як точка «0» є близькою до дуже малих чисел.

Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері $\ S^{2}.$

Координати

Числові координати на сфері Рімана вводяться трьома способами:

• афінна комплексна координата z, яка приймає значення $\infty$;
• проективні комплексні координати $[z_{0}:z_{1}]$;
• тривимірні дійсні координати $\xi ,\eta ,\zeta$, пов'язані рівнянням:

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+(\zeta -1)^{2}=1$.

Сфера Рімана стереографічної проекції переводиться на площину

Перехід від одних координат до інших задається формулами:

$z={\frac {z_{1}}{z_{0}}}$

$z_{0}:z_{1}=\left[{\begin{matrix}\zeta :(\xi +i\eta )&\Leftarrow \zeta >0\\0:1&\Leftarrow \zeta =0\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta ={\frac {2z}{1+|z|^{2}}}\\\zeta ={\frac {2}{1+|z|^{2}}}\end{matrix}}\right.$

$(\xi ,\eta ,\zeta )\mapsto z$ задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається стереографічною проекцією.

Перетворення Мебіуса

Автоморфізмами сфери Рімана є перетворення Мебіуса. Нехай $\ a,b,c,d$ — матриця із $GL_{2}(\mathbb {C} )$. Її дія на сфері Рімана в термінах проективних комплексних координат — просто множення вектора-стовпця координат на матрицю. В афінних координатах дія виглядає так:

$z'={\frac {az+c}{bz+d}}$

Додаток

Сфера Рімана відома в теоретичній фізиці.

В спеціальній теорії відносності сфера Рімана є моделлю небесної сфери. Перетворення Мебіуса пов'язані з перетвореннями Лоренца. Перетворення Мебіуса і Лоренца зв'язані також зі спінорами. В квантовій механіці сфера Рімана параметризує стани систем, описуваних 2-вимірним простором (див. q-біт), зокрема спіна масивних часток з спіном 1/2, таких як електрон. В цьому контексті сферу Рімана називають сферою Блоха і використовують на ній координати «широта-довгота» майже як на звичайній сфері, тільки широту $\theta$ відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч. $0<\theta <\pi /2$ (див. мал.)

В такому випадку вірні співвідношення:

$z_{0}:z_{1}=\cos \theta :e^{i\varphi }\sin \theta$

$\left\{{\begin{matrix}\ \ \ \xi +i\eta =e^{i\varphi }\sin {2\theta }\\\zeta -1=\cos {2\theta }\end{matrix}}\right.$