Сфера Рімана: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [перевірена версія] |
м шаблон |
м правопис |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
[[Файл:RiemannKugel.svg|thumb|right|Сферу Рімана можна зобразити у вигляді площини комплексних чисел, яка обгорнута довкола сфери (як деяку форму [[Стереографічна |
[[Файл:RiemannKugel.svg|thumb|right|Сферу Рімана можна зобразити у вигляді площини комплексних чисел, яка обгорнута довкола сфери (як деяку форму [[Стереографічна проєкція|стереографічної проєкції]] – детально описаної нижче).]] |
||
'''Сфера Рімана''' — [[ріманова поверхня]], природна структура на розширеній [[комплексна площина|комплексній площині]] <math>\widehat{\Complex} = \Complex \cup \{\infty\},</math> яка є комплексною [[проективний простір|проективною прямою]] <math>\Complex \mathbb P^1.</math> Іншими словами це [[Математична модель|модель]] '''розширеної комплексної площини''', де до звичайної [[Комплексна площина|комплексної площини]] додається [[точка на нескінченності]]. Відповідно до моделі Рімана, точка «∞» наближається до дуже великих чисел, так само як точка «0» є близькою до дуже малих чисел. |
'''Сфера Рімана''' — [[ріманова поверхня]], природна структура на розширеній [[комплексна площина|комплексній площині]] <math>\widehat{\Complex} = \Complex \cup \{\infty\},</math> яка є комплексною [[проективний простір|проективною прямою]] <math>\Complex \mathbb P^1.</math> Іншими словами це [[Математична модель|модель]] '''розширеної комплексної площини''', де до звичайної [[Комплексна площина|комплексної площини]] додається [[точка на нескінченності]]. Відповідно до моделі Рімана, точка «∞» наближається до дуже великих чисел, так само як точка «0» є близькою до дуже малих чисел. |
||
Рядок 11: | Рядок 11: | ||
: <math>\xi^2 + \eta^2 + (\zeta-1)^2 = 1</math>. |
: <math>\xi^2 + \eta^2 + (\zeta-1)^2 = 1</math>. |
||
[[Файл:Riemannova koule.png|thumb|right|256px|Сфера Рімана стереографічної |
[[Файл:Riemannova koule.png|thumb|right|256px|Сфера Рімана стереографічної проєкції переводиться на площину]] |
||
Перехід від одних координат до інших задається формулами: |
Перехід від одних координат до інших задається формулами: |
||
: <math>z = \frac{z_1}{z_0}</math> |
: <math>z = \frac{z_1}{z_0}</math> |
||
Рядок 18: | Рядок 18: | ||
: <math>\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = \frac{2z}{1+|z|^2} \\ \zeta = \frac{2}{1+|z|^2} \end{matrix}\right.</math> |
: <math>\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = \frac{2z}{1+|z|^2} \\ \zeta = \frac{2}{1+|z|^2} \end{matrix}\right.</math> |
||
<math>(\xi, \eta, \zeta)\mapsto z</math> задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається [[стереографічна |
<math>(\xi, \eta, \zeta)\mapsto z</math> задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається [[стереографічна проєкція|стереографічною проєкцією]]. |
||
== Перетворення Мебіуса == |
== Перетворення Мебіуса == |
Версія за 10:19, 3 липня 2022
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/RiemannKugel.svg/220px-RiemannKugel.svg.png)
Сфера Рімана — ріманова поверхня, природна структура на розширеній комплексній площині яка є комплексною проективною прямою Іншими словами це модель розширеної комплексної площини, де до звичайної комплексної площини додається точка на нескінченності. Відповідно до моделі Рімана, точка «∞» наближається до дуже великих чисел, так само як точка «0» є близькою до дуже малих чисел.
Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері
Координати
Числові координати на сфері Рімана вводяться трьома способами:
- афінна комплексна координата z, яка приймає значення ;
- проективні комплексні координати ;
- тривимірні дійсні координати , пов'язані рівнянням:
- .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5a/Riemannova_koule.png)
Перехід від одних координат до інших задається формулами:
задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається стереографічною проєкцією.
Перетворення Мебіуса
Автоморфізмами сфери Рімана є перетворення Мебіуса. Нехай — матриця із . Її дія на сфері Рімана в термінах проективних комплексних координат — просто множення вектора-стовпця координат на матрицю. В афінних координатах дія виглядає так:
Додаток
Сфера Рімана відома в теоретичній фізиці.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Blochsphere.svg/220px-Blochsphere.svg.png)
В спеціальній теорії відносності сфера Рімана є моделлю небесної сфери. Перетворення Мебіуса пов'язані з перетвореннями Лоренца. Перетворення Мебіуса і Лоренца зв'язані також зі спінорами. В квантовій механіці сфера Рімана параметризує стани систем, описуваних 2-вимірним простором (див. q-біт), зокрема спіна масивних часток з спіном 1/2, таких як електрон. В цьому контексті сферу Рімана називають сферою Блоха і використовують на ній координати «широта-довгота» майже як на звичайній сфері, тільки широту відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч. (див. мал.)
В такому випадку вірні співвідношення:
Примітки
Ця стаття не містить посилань на джерела. (січень 2014) |