Сфера Рімана: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Olvin (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 34: | Рядок 34: | ||
:<math>\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = e^{i\varphi}\sin{2\theta} \\\zeta-1 = \cos{2\theta}\end{matrix}\right.</math> |
:<math>\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = e^{i\varphi}\sin{2\theta} \\\zeta-1 = \cos{2\theta}\end{matrix}\right.</math> |
||
[[Категорія:Комплексний аналіз]] |
|||
[[ar:كرة ريمان]] |
|||
[[Категорія:Математика]] |
|||
[[cs:Riemannova koule]] |
|||
[[de:Riemannsche Zahlenkugel]] |
|||
[[en:Riemann sphere]] |
|||
[[fa:کره ریمان]] |
|||
[[fi:Riemannin pallo]] |
|||
[[fr:Sphère de Riemann]] |
|||
[[he:הספירה של רימן]] |
|||
[[it:Sfera di Riemann]] |
|||
[[ja:リーマン球面]] |
|||
[[nl:Riemann-sfeer]] |
|||
[[no:Riemannsk sfære]] |
|||
[[pt:Esfera de Riemann]] |
|||
[[ru:Сфера Римана]] |
|||
[[sl:Riemannova sfera]] |
|||
[[sv:Riemannsfären]] |
|||
[[zh:黎曼球面]] |
Версія за 19:02, 27 березня 2010
Сфера Рімана — ріманова поверхня, природня структура на розширеній комплексній площині , яка є комплексною проективною прямою .
Координати
Числові координати на сфері Рімана вводяться трьома способами:
- афінна комплексна координата z, яка приймає значення ;
- проективні комплексні координати ;
- тривимірні дійсні координати , пов’язані рівнянням:
- .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5a/Riemannova_koule.png)
Перехід від одних координат до інших задається формулами:
задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається стереографічною проекцією.
Перетворення Мебіуса
Автоморфізмами сфери Рімана є перетворення Мебіуса. Нехай — матриця із . Її дія на сфері Рімана в термінах проективних комплексних координат — просто множення вектора-стовбця координат на матрицю. В афінних координатах дія виглядає так:
Додаток
Сфера Рімана відома в теоретичній фiзиці.
В спеціальній теорії відносності сфера Римана є моделлю небесної сфери. Перетворення Мебіуса зв’язані з перетвореннями Лоренца. Перетворення Мебіуса і Лоренца зв’язані також зі спінорами. В квантовій механіці сфера Рімана параметризує стани систем, описуваних 2-вимірним простором (див. q-біт), зокрема спіна масивних частиць з спіном 1/2, таких як електрон. В цьому контексті сферу Рімана називають сферою Блоха і використовують на ній координати «широта-довгота» майже як на звичайній сфері, тільки широту відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч. (см. рис.)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Blochsphere.svg/220px-Blochsphere.svg.png)
В такому випадку вірні співвідношення: