Стійкість (динамічні системи): відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Немає опису редагування |
Tolsai (обговорення | внесок) Функція пропозицій посилань: додано 1 посилання. |
||
Рядок 18: | Рядок 18: | ||
<math>\dot{X}(t)=F(X(t-\tau))+\mathfrak{F}(t,X_{t}).</math> (3) |
<math>\dot{X}(t)=F(X(t-\tau))+\mathfrak{F}(t,X_{t}).</math> (3) |
||
Кожен розв'язок <math>X(t,t_{0},\varphi)</math> системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом <math>t_{0}</math> та початковою [[Вектор-функція|вектор-функцією]] <math>\varphi(\xi),</math> де <math>X(t_{0}+\xi,t_{0},\varphi)=\varphi(\xi)</math> за <math>\xi\in[-\tau,0].</math> Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції <math>\varphi(\xi)</math> належать простору <math>PC[-\tau,0]</math> шматково-неперервних за <math>\xi\in[-\tau,0]</math> функцій із [[Простір неперервних функцій|рівномірною нормою]] <math>||\varphi||_{\tau}=\underset{\xi\in[-\tau,0]}{\sup}||\varphi(\xi)||,</math> де <math>||\cdot||</math> — евклідова норма вектора. |
Кожен розв'язок <math>X(t,t_{0},\varphi)</math> системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом <math>t_{0}</math> та початковою [[Вектор-функція|вектор-функцією]] <math>\varphi(\xi),</math> де <math>X(t_{0}+\xi,t_{0},\varphi)=\varphi(\xi)</math> за <math>\xi\in[-\tau,0].</math> Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції <math>\varphi(\xi)</math> належать простору <math>PC[-\tau,0]</math> шматково-неперервних за <math>\xi\in[-\tau,0]</math> функцій із [[Простір неперервних функцій|рівномірною нормою]] <math>||\varphi||_{\tau}=\underset{\xi\in[-\tau,0]}{\sup}||\varphi(\xi)||,</math> де <math>||\cdot||</math> — [[евклідова норма]] вектора. |
||
Функціонал <math>\mathfrak{F}(t,\varphi)</math> заданий й є неперервним у області |
Функціонал <math>\mathfrak{F}(t,\varphi)</math> заданий й є неперервним у області |
Версія за 03:57, 26 квітня 2024
В математиці, розв'язок диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка розв'язків з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного розв'язку. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість за Ляпуновим, асимптотичну стійкість і т. д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального розв'язку в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.
Постановка завдання стійкості динамічних систем
Нехай — область простору , що містить початок координат, , де . Розглянемо систему (1) виду:
(1)
При будь-яких існує єдиний розв'язок x(t, t0, x0) системи (1), задовольняюче початковим умовам x(t0, t0, x0) = x0. Будемо припускати, що розв'язок x(t, t0, x0) визначено на інтервалі , причому .
Нехай дані також дві динамічні системи:
(2)
(3)
Кожен розв'язок системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом та початковою вектор-функцією де за Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції належать простору шматково-неперервних за функцій із рівномірною нормою де — евклідова норма вектора.
Функціонал заданий й є неперервним у області
де — множина функцій які задовільняють умові Припустимо, у цій області є справедливою оцінка
Відтак система (3) має розв'язок
Стійкість за Ляпуновим
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-яких і існує , залежне тільки від ε і t0 і не залежне від t, таке, що для будь-якого x0, для котрого , розв'язок x системи з початковими умовами x(t0) = x0 триває на всю піввісь t > t0 і задовольняє нерівності .
.
Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь
(4)
де — n-вимірний вектор, компоненти векторної функції визначені й неперервно диференційовані за усіх та є однорідними функціями порядку Відтак система (4) має розв'язок
Розгляньмо функцію Ляпунова яка має наступні властивості:
- неперервно диференційована;
- додатно визначена;
- — однорідна функція порядку ;
- справедлива рівність
Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) маємо
де Нехай нульовий розв'язок системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність то нульовий розв'язок системи (3) є асимптотично стійким за будь-якого значення
Рівномірна стійкість за Ляпуновим
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким за Ляпуновим, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:
Нестійкість за Ляпуновим
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається нестійким за Ляпуновим, якщо:
Асимптотична стійкість
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо він стійкий за Ляпуновим і виконується умова для всякого x з початковою умовою x0, що лежить у досить малому околі нуля.
Еквіасимптотична стійкість
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно притягальний.
Рівномірна асимптотична стійкість
Тривіальний розв'язок системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо він стійкий і еквіпритягальний.
Асимптотична стійкість в цілому
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким у цілому, якщо він стійкий і глобальнопритягальний.
Рівномірна асимптотична стійкість в цілому
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким у цілому, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно-глобальнопритягальний.
Див. також
Література
- Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений : [рос.]. — М. : Издательство иностранной литературы, 1954.
- Четаев, Н. Г. Устойчивость движения : [рос.]. — 4-е изд., испр.. — М. : Наука, 1990. — 176 с. — ISBN 5-02-014018-X.
- Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения : [рос.]. — М. : Физматгиз, 1959.
- Малкин И. Г. Теория устойчивости движения : [рос.]. — 2-е изд., испр.. — М. : Наука, 1966.
- Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости : [рос.]. — М. : Наука, 1967. — 472 с.
- Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления : [рос.]. — 3-е изд., испр. и доп.. — М. : Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X.
- Филиппов, А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — Эдиториал УРСС, 2007. — 240 с. — ISBN 978-5-484-00786-8.
- Руш, Н., Абетс, П., Лалуа, М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М. : Мир, 1980.