Вписане коло

Трикутник (чорний) з вписаним колом (синє), зовнішніми вписаними колами (помаранчеві), бісектрисами внутрішніх (червоні) та зовнішніх (зелені) кутів.

Вписане коло трикутника — це найбільше коло розміщене в трикутнику, яке дотичне до трьох його сторін. Центр вписаного в трикутник кола називається інцентром. Інцентром також називається точка перетину бісектрис трикутника. Традиційно позначається латинською літерою I.

Зовнішнє вписане коло трикутника — це коло, яке лежить за межами трикутника дотичне до одної з сторін трикутника і також дотичне до продовження інших двох сторін. Кожен трикутник має три зовнішні вписані кола, кожне з яких дотичне до одної з сторін трикутника. Центр зовнішньо вписаного кола традиційно позначається латинською літерою J з індексом - назвою відповідної вершини трикутника, наприклад, $J_{A}$.

Центр вписаного кола можна знайти як точку перетину трьох бісектрис внутрішніх кутів. Центр зовнішнього вписаного кола можна знайти як точку перетину бісектриси внутрішнього кута і двох бісектрис зовнішніх кутів. З цього випливає, що центр вписаного кола разом з трьома центрами зовнішніх вписаних кіл утворюють ортоцентричну систему.

Властивості інцентра

• Інцентр знаходиться на однаковій відстані від усіх сторін трикутника.
• Інцентр ділить бісектриса кута $A$ у відношенні ${\frac {b+c}{a}}$, де $a$, $b$, $c$ - сторони трикутника.
• Теорема про трилисник (або лема про тризубець). Якщо продовження бісектриси кута А перетинає описане навколо трикутника ABC коло в точці $W$, то виконується рівність: $WB=WC=WI=WD$, де $D$ - центр зовнішього вписаного кола, що дотикається до сторони $BC$.
• Формула Ейлера. Відстань між інцентром $I$ і центром описаного кола $O$ дорівнює: $OI^{2}=R^{2}-2Rr$, де $R$ і $r$ - радіуси відповідно описаного та вписаного кіл.

Дивіться також

• Трикутник,
• Коло,
• Описане коло.