Кубічне рівняння

Кубі́чне рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду

$\ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$, де $\ a\neq 0$.

Для того, щоб отримати загальний розв'язок кубічного рівняння, потрібно його звести до канонічного вигляду

$\ z^{3}+pz+q=0.$

Це можна зробити шляхом ділення рівняння на старший коефіцієнт $\ a,$ після чого провівши заміну змінної $x=z-{\frac {b}{3a}}.$

Кубічне рівняння може мати:

• або три різні дійсні корені,
• або три дійсні, два з яких співпадають (тобто, по суті два),
• або три дійсні співпадаючи корені (тобто, по суті один)
• або один дійсний корень.

Метод Кардано

Введемо дві змінні $\ u$ та $\ v$, такі що

$\ z=u+v,$

підставивши їх в рівняння отримаємо

$\ u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.$

введемо додаткову умову для змінних, а саме:

$\ 3uv+p=0,$

підставивши її в рівняння, та використавши $uv=-{\frac {p}{3}},$ отримаємо та розв'яжемо квадратне рівняння відносно $\ u^{3}$ наступним чином:

$\ u^{6}+qu^{3}-{p^{3} \over 27}=0,\qquad u^{3}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {D}},\qquad D={q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}.$

Всього є три розв'язки рівняння $\ z^{3}+pz+q=0,$ один з них є :$z={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {D}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {D}}}}.$

Якщо $p,q\in \mathbb {R}$ та:

• $\ D<0,$ то рівняння має один дійсний корінь і два комплексні.
• $\ D>0,$ то всі корені рівняння є дійсними числами.
• $\ D=0,$ то всі корені рівняння є дійсними числами, при чому принаймні два з них є однаковими.

Див. також

• Дискримінант
• Формула Кардано
• Рівняння четвертого степеня