Вписане коло

Вписане коло трикутника — це найбільше коло розташоване в трикутнику, яке дотичне до трьох його сторін. Центр вписаного в трикутник кола називають інцентром. Інцентром також називають точку перетину бісектрис трикутника. Традиційно позначають латинською літерою I.

Зовнішнє вписане коло (також зовнівписане) трикутника — це коло, яке лежить за межами трикутника дотичне до одної з сторін трикутника і також дотичне до продовження інших двох сторін. Кожен трикутник має три зовнішні вписані кола, кожне з яких дотичне до одної з сторін трикутника. Центр зовнішньо вписаного кола традиційно позначають латинською літерою J з індексом - назвою відповідної вершини трикутника, наприклад, $J_{A}$ .

Центр вписаного кола можна знайти, як точку перетину трьох бісектрис внутрішніх кутів. Центр зовнівписаного кола можна знайти, як точку перетину бісектриси внутрішнього кута і двох бісектрис зовнішніх кутів. З цього випливає, що центр вписаного кола разом з трьома центрами зовнішніх вписаних кіл утворюють ортоцентричну систему.

Властивості інцентра

Інцентр лежить на однаковій відстані від усіх сторін трикутника.
Інцентр ділить бісектрису кута $A$ у відношенні ${\frac {b+c}{a}}$ , де $a$ , $b$ , $c$ - сторони трикутника.
Теорема про трилисник (або лема про тризубець). Якщо продовження бісектриси кута А перетинає описане навколо трикутника ABC коло в точці $W$ , то справедлива рівність: $WB=WC=WI=WD$ , де $D$ - центр зовнішього вписаного кола, що дотикається до сторони $BC$ .
Формула Ейлера. Квадрат відстані між інцентром $I$ і центром описаного кола $O$ дорівнює $OI^{2}=R^{2}-2Rr$ , де $R$ і $r$ - радіуси відповідно описаного та вписаного кіл.