Вписане коло

Перевірена версія цієї сторінки, затверджена 17 травня 2015, заснована на цій версії.

Вписане коло трикутника — це найбільше коло, розташоване в трикутнику, яке дотичне до трьох його сторін. Центр вписаного в трикутник кола називають інцентром. Інцентром також називають точку перетину бісектрис трикутника. Традиційно позначають латинською літерою I.

Зовнішнє вписане коло (також зовнівписане) трикутника — це коло, яке лежить за межами трикутника дотичне до одної з сторін трикутника і також дотичне до продовження інших двох сторін. Кожен трикутник має три зовнішні вписані кола, кожне з яких дотичне до одної з сторін трикутника. Центр зовнішньо вписаного кола традиційно позначають латинською літерою J з індексом — назвою відповідної вершини трикутника, наприклад, $J_{A}$ .

Центр вписаного кола можна знайти, як точку перетину трьох бісектрис внутрішніх кутів. Центр зовнівписаного кола можна знайти, як точку перетину бісектриси внутрішнього кута і двох бісектрис зовнішніх кутів. З цього випливає, що центр вписаного кола разом з трьома центрами зовнішніх вписаних кіл утворюють ортоцентричну систему.

Властивості інцентру

Інцентр лежить на однаковій відстані від усіх сторін трикутника.
Інцентр ділить бісектрису кута $A$ у відношенні ${\frac {b+c}{a}}$ , де $a$ , $b$ , $c$ — сторони трикутника.
Теорема про трилисник (або лема про тризубець). Якщо продовження бісектриси кута А перетинає описане навколо трикутника ABC коло в точці $W$ , то справедлива рівність: $WB=WC=WI=WO$ , де $O$ — центр зовнішнього вписаного кола, що дотикається до сторони $BC$ .
Формула Ейлера. Квадрат відстані між інцентром $I$ і центром описаного кола $O$ дорівнює $OI^{2}=R^{2}-2Rr$ , де $R$ і $r$ — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл.

Властивості вписаного кола

У кожен трикутник можна вписати коло, притому тільки одне.
Центр I вписаного кола називається інцентром, він рівновіддалений від усіх сторін і є точкою перетину бисектрис трикутника.
Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює

r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}

де S — площа трикутника, а p — півпериметр.

Якщо AB — основа рівнобедреного $\triangle ABC$ , то коло, дотичне до сторін кута $\angle ACB$ в точках A і B, проходить через інцентр трикутника ABC.
Якщо пряма, що проходить через точку I паралельно стороні AB, перетинає сторони BC і CA в точках A₁ і B₁, то $A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}$ .
Точки дотику вписаного в трикутник T кола з'єднані відрізками утворюють трикутник T₁.
- Бісектриси T є серединними перпендикулярами T₁.
- Нехай T₂ — ортотрикутник T₁. Тоді його сторони паралельні сторонам вихідного трикутника T.
- Нехай T₃ — серединний трикутник T₁. Тоді бісектриси T є висотами T₃.
- Нехай T₄ — ортотрикутник T₃, тоді бісектриси T є бісектрисами T₄.
Радіус вписаного в прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою c кола дорівнює ${\frac {a+b-c}{2}}$ .
Відстань від вершини С трикутника до точки, в якій вписане коло дотикається сторони, дорівнює $d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c$ .
Відстань від вершини C до центру вписаного кола дорівнює $l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}$ , де r — радіус вписаного кола, а γ — кут вершини C.
Відстань від вершини C до центру вписаного кола може також бути знайдено за формулами $l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}$ и $l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}$
Лема Верр'єра^[1]: нехай коло $V$ дотичне до сторін $AB$ , $AC$ і дуги $BC$ описаного кола трикутника $ABC$ . Тоді точки дотику кола $V$ зі сторонами і центр вписаного кола трикутника $ABC$ лежать на одній прямій.