Опукла функція

Опукла функція однієї змінної

Опукла функція — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задоволняє нерівності

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$

при всіх λ ∈ [0, 1].

Нехай область визначення опуклої функції f(x) лежить в скінченовимірному просторі, тоді f(x) неперервна в будь якій внутрішній точці цієї області.

Властивості опуклих функцій

Нехай x₁, ..., x_m — будь які точки із області визначення опуклої функції f(x), λ₁, ..., λ_m — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють 1. Тоді

$f\left(\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}f(x_{i})$.

Якщо f(x) — двічи неперервно диференційована опукла функція, то матриця її других похідних напівдодатньо визначена.

Джерела інформації

• Енциклопедія кібернетики, Пшенічний Б. Н., т. 1, ст. 198.

Дивіться також

• Опукла множина
• Задача опуклого програмування