Теорема Вівіані

Сума довжин відрізків $t+u+s$ у правильному трикутнику дорівнює його висоті

Теоре́ма Вівіа́ні (англ. Viviani's theorem) — твердження у геометрії трикутника, згідно з яким сума відстаней від довільної точки всередині правильного трикутника до його сторін є сталою і дорівнює висоті трикутника.

Названа іменем італійського математика Вінченцо Вівіані.

Твердження за частиною сталості суми відстаней від довільної внутрішньої точки до сторін може бути узагальнене на правильні многокутники і многокутники з однаковими кутами.

Доведення

Теорему можна довести шляхом порівняння площ трикутників. Нехай $\triangle ABC$ — рівносторонній трикутник, у якому $h$ — це висота, і $a$ — довжина кожної із сторін. Точка $P$ обирається довільно всередині трикутника, і тоді $t$, $u$, $s$ — відстані від точки $P$ до сторін трикутника. Тоді площа $\triangle ABC$ може бути визначена таким способом:

$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}+S_{\triangle BCP}$,

Звідки випливає співвідношення:

${\frac {ah}{2}}={\frac {at}{2}}+{\frac {au}{2}}+{\frac {as}{2}}$,

тобто:

$h=t+u+s$,

що і потрібно було довести.

Застосування

Діаграма займистості метану

Теорема Вівіані дозволяє отримувати координати точок на трикомпонентних діаграмах шляхом проведення ліній, паралельних до сторін рівностороннього трикутника. Зокрема так можна будувати діаграми займистості.

У загальнішому випадку, вона дозволяє задавати координати на правильному симплексі.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Viviani's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points
• Viviani's Theorem: What is it? at Cut the knot.
• Viviani's Theorem by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project.