В математиці, рішення диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка рішень з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного рішення. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість по Ляпунову, асимптотичну стійкість і т.д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального рішення в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.
Постановка завдання стійкості динамічних систем
Нехай
— область простору
, що містить початок координат,
, де
. Розглянемо систему (1) виду:
(1)
При будь-яких
існує єдине рішення x(t, t0, x0) системи (1), задовольняюче початковим умовам x(t0, t0, x0) = x0. Будемо припускати, що рішення x(t, t0, x0) визначено на інтервалі
, причому
.
Нехай дані також дві динамічні системи:
(2)
(3)
Кожне рішення
системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом
та початковою вектор-функцією
де
за
Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції
належать простору
шматочно-неперервних за
функцій із рівномірною нормою
де
- евклідова норма вектора.
Функціонал
заданий й є неперервним у області
де
- множина функцій
які задовільняють умові
Припустимо, у цій області є справедливою оцінка
Відтак система (3) має рішення
Стійкість за Ляпуновим
Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається стійким по Ляпунову, якщо для будь-яких
і
існує
, залежне тільки від ε и t0 і не залежить від t, таке, що для будь-якого x0, для котрого
, рішення x системи з початковими умовами x(t0) = x0 триває на всю піввісь t > t0 і задовольняє нерівності
.
.
Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь
(4)
де
- n-вимірний вектор, компоненти векторної функції
визначені й неперервно диференційовані за усіх
та є однорідними функціями порядку
Відтак система (4) має рішення
Розгляньмо функцію Ляпунова
яка має наступні властивості:
неперервно диференційована;
додатно визначена;
- однорідна функція порядку
;
- справедлива рівність
![{\displaystyle ({\frac {\partial V(X)}{\partial X}})^{T}F(x)=-||X||^{\gamma +\mu -1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c29a6688a7b7d1bbfc4bec043a6272147be93cd)
Диференціюючи систему (4) в силу системи (3)
маємо
де
Нехай нульове рішення системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність
то нульове рішення системи (3) є асимпотично стійким за будь-якого значення
Рівномірна стійкість по Ляпунову
Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким по Ляпунову, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:
Нестійкість по Ляпунову
Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається нестійким по Ляпунову, якщо:
Асимптотична стійкість
Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо воно стійке по Ляпунову і виконується умова
для всякого x з початковою умовою x0, лежачим в досить малій околиці нуля.
Еквіасимптотична стійкість
Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно притягуюче.
Рівномірна асимптотична стійкість
Тривіальне рішення системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо воно стійке і еквіпритягаюче.
Асимптотична стійкість в цілому
Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким в цілому, якщо воно стійке і глобальнопритягуюче.
Рівномірна асимптотична стійкість в цілому
Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким в цілому, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно-глобальнопритягуюче.
Див. також
- Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги
Література
- Беллман Р. {{{Заголовок}}}.
- Четаев Н. Г. {{{Заголовок}}}.
- Красовский Н. Н. {{{Заголовок}}}.
- Малкин И. Г. {{{Заголовок}}}.
- Демидович Б. П. {{{Заголовок}}}.
- Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. {{{Заголовок}}}. — ISBN 5-06-004162-X..
- Филиппов А. Ф. {{{Заголовок}}}.