Граничний цикл
Грани́чний цикл — це крива, до якої наближається фазова траєкторія двовимірної динамічної системи при автоколиваннях. Зазвичай є роз'язком системи кінетичних рівнянь, які описують дисипативну систему, тобто є однією з можливих фазових траєкторій. Граничні цикли виникають при біфуркаціях Хопфа.
Визначення
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Poincare_limit_cycle_1882.svg/220px-Poincare_limit_cycle_1882.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Van_der_Pol_stable_limit_cycle_mu%3D1.svg/220px-Van_der_Pol_stable_limit_cycle_mu%3D1.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/Semistable_limit_cycle.svg/220px-Semistable_limit_cycle.svg.png)
Розглянемо двовимірну автономну систему звичайних диференціальних рівнянь:
де гладка функція. Розв'язок цієї системи заданий гладкою функцією яка задовольняє систему диференціальних рівнянь. Траєкторія називається замкнутою, або періодичною, якщо розв'язок, з початковими умовами , є (не сталою) періодичною функцією, тобто існує час після якого система повертається до початкової точки ().
Граничний цикл — замкнута траєкторія у фазовому просторі двовимірної динамічної системи, до якої збігається хоча б одна фазова траєкторія при або при . Граничний цикл називається:[2]
- Стійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі з обох боків при .
- Нестійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі з обох боків при .
- Напівстійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі при з одного боку та при з іншого, або навпаки.
Приклади
Перший відомий приклад граничного циклу належить Пуанкаре, та був продемонстрований в 1882 році за допомогою наступної автономної системи [1] :
Ця система має нестійкий граничний цикл на одиничному колі у фазовому просторі, тобто на множині яка задовольняє алгебричне рівняння . На відміну від цього, в інших (навіть алгебричних) системах граничні цикли подекуди не можуть бути записаними за допомогою алгебричних рівнянь. Прикладом системи з токою властивістью є осцилятор Ван дер Поля:
зі стійким граничним циклом (при параметрі нелінійного згасання ) який не має алгебричного виразу.[3]
Заради прикладу напівстійкого граничного циклу можна розглянути наступну систему:
Напівстійкий граничний цикл цієї системи також лежить на одиничному колі.
Проблема існування
В загальному випадку, доведення існування граничного циклу є нетривіальною проблемою. Існують деякі критерії існування (на пр. Теорема Пуанкаре — Бендиксона) та неіснування граничних циклів (на пр. критерій Бендиксона — Дюлака[en]), однак всі вони дають лише достатні умови.
Нерозв'язані проблеми
Друга частина Шістнадцятої проблеми Гільберта[en].
Див. також
- Гранична точка
- Гранична множина
- Атрактор
- Теорема Пуанкаре — Бендиксона
- Критерій Бендиксона — Дюлака[en]
Література
Лекції
- Limit cycles Лекція MIT [Архівовано 27 листопада 2015 у Wayback Machine.]. (англ.)
- Limit cycles Відео лекція MIT [Архівовано 27 листопада 2015 у Wayback Machine.]. (англ.)
Підручники
- Cristopher, Colin; Li, Chengzhi (2007). Limit Cycles of Differential Equations. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8409-8. (англ.)
- Ye, Yan-Qian; Lo, Chi Y (1986). Theory of Limit Cycles (Translations of Mathematical Monographs). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4773-2.
{{cite book}}
: Cite має пустий невідомий параметр:|1=
(довідка) (англ.) - Bogoliubov, N.; Mitropolsky, Y. (1961). Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations. Gordon & Breach. ISBN 978-0677200507. (англ.)
Посилання
- ↑ а б Ginoux, Jean-Marc (2009). Differential Geometry Applied to Dynamical Systems. World Scientific Series on Nonlinear Science Series A: Volume 66. ISBN 978-981-4277-14-3. (англ.)
- ↑ Arrowsmith, D. K.; Place, C.M. (1990). Ordinary Differential Equations: A Qualitative Aproach with Applications. Chapman and Hall. ISBN 978-0-412-22600-7. (англ.)
- ↑ Odani, Kenzi (1995). The Limit Cycle of the van der Pol Equation Is Not Algebraic. Nagoya University: Elsevier,Journal of Differential Equations, Volume 115, Issue 1. Архів оригіналу за 6 травня 2021. Процитовано 25 листопада 2015. (англ.)
![]() |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |