Визначник

Площа паралелограма є модулем визна́чника матриці 2×2 із векторів його сторін.

Визна́чник або детерміна́нт — це число; вираз складений за певним законом з n² елементів квадратної матриці. Одна з найважливіших характеристик квадратних матриць.

Для квадратної матриці розміру $\ n\times n$ визна́чник є многочленом степеня $\ n$ від елементів матриці, і є сумою добутків елементів матриці зі всіма можливими комбінаціями різних номерів рядків і стовпців (в кожному із добутків є рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця). Кожному добутку приписується знак плюс чи мінус, в залежності від парності перестановки номерів.

Якщо елементами матриці є числа, то визна́чник — також число. Взагалі, визна́чник може бути функціональним або належати якомусь комутативному кільцю, залежно від походження матриці.

З точністю до знака, визна́чник матриці виражає коефіцієнт, на який множаться $\ n$-мірні об'єми під дією цієї матриці.

Визначення

Визначник матриці $\ A$ задається формулою:

$\det(A)=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\pi )\left(a_{1\pi (1)}\cdot a_{2\pi (2)}\cdot \ldots \cdot a_{n\pi (n)}\right),$

де $\ \pi$ — перестановка множини $\ (1,\ldots ,n)$ і $\ \operatorname {sgn}(\pi )$ це знак (або парність) перестановки, тобто дорівнює 1 чи −1 залежно від парності числа інверсій $\ \pi .$

Кількість доданків у сумі дорівнює $\ n!$ і номери рядка та стовпця елементів матриці, що входять в один добуток, не повторюються.

Матриця називається виродженою, якщо її визначник дорівнює нулю, а в іншому випадку невиродженою.

Визначник 2×2 матриці

Щоб знайти визначник $2\times 2$ матриці, множимо елементи головної діагоналі та віднімаємо добуток елементів побічної діагоналі:

$|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.$

Визначник 3×3 матриці

Щоб знайти визначник $3\times 3$ матриці, будуємо шість добутків таким чином:

$|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}.$

Для знаходження визначників високого порядку застосовуються принципово інші методи (насамперед, метод Гауса), що вимагають значно меншої кількості арифметичних операцій ($O(n^{3})$ замість $n!$).

Матриці N×N

Загалом для матриць вищих порядків (вище 2-го) $n\times n$ визначник можна обчислити, застосувавши таку рекурсивну формулу:

$\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}$, де ${\bar {M}}_{j}^{1}$ — доповнювальний мінор до елементу $a_{1j}$.Ця формула називається розкладанням за рядком.

Легко показати^[кому?], що при транспонуванні визначник матриці не міняється (тобто аналогічне розкладання за першим стовпцем також справедливе, тобто дає такий же результат, як і за першим рядком):

$\Delta =\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}$

Також справедливе й аналогічне розкладання за будь-яким рядком (стовпцем):

$\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}$

Узагальненням вищенаведених формул є розкладання детермінанта за Лапласом (Теорема Лапласа), що дає можливість обчислювати визначник за довільними k рядками (стовпцями):

$\Delta =\sum _{1\leqslant j_{1}<\ldots <j_{k}\leqslant n}(-1)^{i_{1}+...+i_{k}+j_{1}+...+j_{k}}M_{j_{1}...j_{k}}^{i_{1}...i_{k}}{\bar {M}}_{j_{1}...j_{k}}^{i_{1}...i_{k}}$

Властивості

1. Якщо помножити якийсь рядок (стовпець) на константу $\ a,$ то визначник також помножиться на $\ a.$
2. Якщо у матриці поміняти місцями будь-які два рядки (стовпці), то знак визначника зміниться на протилежний.
3. При додаванні до будь-якого рядка (стовпця) лінійної комбінації кількох інших рядків (стовпців) визначник не зміниться.
4. У матриці з двома однаковими/пропорційними рядками (стовпцями) або з нульовим рядком, визначник дорівнює нулю.
5. Всі властивості визначників, що стосуються рядків, так само справедливі і для стовпців.
6. Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів на діагоналі.
7. Теорема Лапласа: визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка на відповідні їм алгебраїчні доповнення.
8. Теорема про фальшивий розклад: сума добутків елементів деякого рядка на алгебраїчні доповнення відповідних елементів паралельного рядка дорівнює нулю.
9. $\ \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}.$
10. $\ \det(A^{T})=\det(A).$
11. $\ \det(AB)=\det(A)\det(B).$

    $\det(C)={\frac {1}{3!}}\delta _{rst}^{ijk}c_{i}^{r}c_{j}^{s}c_{k}^{t}={\frac {1}{3!}}\delta _{rst}^{ijk}(a_{l}^{r}b_{i}^{l})(a_{m}^{s}b_{j}^{m})(a_{n}^{t}b_{k}^{n})={\frac {1}{3!}}\delta _{rst}^{ijk}(a_{l}^{r}a_{m}^{s}a_{n}^{t})(b_{i}^{l}b_{j}^{m}b_{k}^{n})=\left[{\frac {1}{3!}}\delta _{rst}^{lmn}(a_{l}^{r}a_{m}^{s}a_{n}^{t})\right]\left[{\frac {1}{3!}}\delta _{lmn}^{ijk}(b_{i}^{l}b_{j}^{m}b_{k}^{n})\right]=\det(A)\det(B)$

У лінійній алгебрі доводиться, що перші три властивості майже характеризують визначник матриць з елементами у полі. А саме, якщо функція елементів матриці задовольняє 1,2,3, то така функція пропорціональна $\det$.

Визначникова тотожність Сильвестра

Визначникова тотожність Сильвестра стверджує, що для A, m × n матриця, і B, n × m матриця (так що A і B мають розмірності, що дозволяють їм бути помноженими в будь-якому порядку):

$\det(I_{\mathit {m}}+AB)=\det(I_{\mathit {n}}+BA)$,

де I_m і I_n це m × m і n × n одиничні матриці, відповідно.

Історія

Китайський текст «Математика в дев'яти книгах» (написаний ще до нашої ери) містить приклади використання визначника для розв'язання системи рівнянь, ще задовго до введення визначників японським математиком Секі Такакадзу (1683 р.) та німецьким математиком Лейбніцем (1693 р.).

Одне із найповніших джерел з історії визначників (до початку 20 століття) — це чотиритомна хрестоматія The theory of determinants in the historical order of development by Thomas Muir, New York, Dover Publications, 1960. Див. [1]

Спеціальні види визначників

• Визначник Якобі (Якобіан)
• Визначник Вронського (Вронськіан)
• Визначник Вандермонда
• Визначник Грама
• Визначник Слейтера
• Формула Лейбніца для визначників

Див. також

• Теорія матриць
• Елементарні перетворення матриці
• Слід матриці
• Ранг матриці
• Мінор визначника
• Правило Крамера
• Власне значення

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Determinant (MATHEMATICS) [Архівовано 4 березня 2018 у Wayback Machine.] // «Encyclopaedia Britannica» (англ.)
• Определитель / Энциклопедия «Кругосвет» [Архівовано 4 березня 2018 у Wayback Machine.] (рос.)
• Визначники // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 13-15. — 594 с.