Пляшка Кляйна
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Klein_bottle.svg/220px-Klein_bottle.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Bouteille_Klein_2Mobius.png/220px-Bouteille_Klein_2Mobius.png)
Пляшка Кляйна — замкнена одностороння поверхня, що не має країв. Вперше описана у 1882 році німецьким математиком Ф. Кляйном.
Походження назви
Назва, мабуть, походить від неправильного перекладу німецького слова «поверхня Кляйна» (нім. die Kleinsche Fläche), де вираз die Fläche (поверхня) в німецькій мові близький за написанням до слова die Flasche (пляшка). Однак, нова назва стала популярною у світі і непогано відповідає формі поверхні, також стала звичною і в Німеччині.[1]
Топологія «пляшки»
Уявлення про пляшку Кляйна можна отримати, якщо звичайну пляшку, у дні якої зроблено отвір, доповнити з'єднувальною трубкою, одним кінцем надітою на цей виступ, а другим — на шийку пляшки (див. малюнок.). Пляшка Кляйна в тривимірному просторі завжди має лінію самоперетину.
Її можна утворити також з двох стрічок Мебіуса, склеївши їх по граничних лініях.
Пляшка Кляйна визначається просто як прямокутник, у якому об'єднано (склеєно) парами відповідні точки протилежних сторін, причому одна пара була обернена на 180°. На ілюстрації краї позначені кольорами, а напрям орієнтації стрілками.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Пляшка Кляйна не може бути реалізованою в тривимірному просторі, оскільки це призводить до появи самоперетинів поверхні. Без перетинів пляшка може бути реалізованою в чотиривимірному просторі.
Властивості поверхонь типу «пляшка Кляйна» вивчаються в топології.
Параметризація
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/KleinBottle-Figure8-01.svg/220px-KleinBottle-Figure8-01.svg.png)
Пляшка Кляйна у вигляді вісімки має досить просту параметризацію:
У цьому вигляді самоперетин має форму геометричного кола в площині XY. Константа дорівнює радіусу кола. Параметр задає кут на площині XY і означає положення біля 8-подібного перерізу. З урахуванням наведеної вище параметризації перетин є фігурою Ліссажу зі співвідношенням амплітуд 2:1
Див. також
Примітки
- ↑ Bonahon, Francis (5 серпня 2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. ISBN 9780821848166.