Басейни Ньютона
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/Fractal_newton.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Newtroot_1_0_0_0_0_m1.png/250px-Newtroot_1_0_0_0_0_m1.png)
Басейни Ньютона, фрактали Ньютона — різновид алгебраїчних фракталів.
Області з фрактальними межами з'являються при наближеному знаходженні коренів нелінійного рівняння алгоритмом Ньютона на комплексній площині (для функції дійсної змінної метод Ньютона часто називають методом дотичних, який, у даному випадку, узагальнюється для комплексної площини)[1].
Застосуємо метод Ньютона для знаходження нуля функції комплексного змінного, використовуючи процедуру:
Вибір початкового наближення представляє особливий інтерес. Оскільки функція може мати декілька нулів, в різних випадках метод може сходитися до різних значень. Проте, що за області забезпечать збіжність до того або іншого кореня?
Це питання зацікавило Артура Келі ще в 1879 році, проте вирішити його змогли лише в 1970-х роках ХХ століття з появою обчислювальної техніки. Виявилось, що на перетинах цих областей (їх прийнято називати областями тяжіння) утворюються так звані фрактали — нескінченні самоподібні геометричні фігури.
З огляду на те, що Ньютон застосовував свій метод виключно до поліномів, фрактали, утворені в результаті такого застосування, набули назви фракталів Ньютона або басейнів Ньютона.
Розглянемо рівняння:
- ,
Воно має три корені. При виборі різних процес буде сходиться до різних коренів (областей тяжіння). Артур Келі поставив завдання опису цих областей, межі яких, як виявилося, мають фрактальну структуру.
За наступною формулою:
- Алгебраїчні фрактали
- Геометричні фрактали
- Стохастичні фрактали
- Рукотворні фрактали
- Природні фрактали
- Детерміновані фрактали
- Недетерміновані фрактали
- ↑ Фрактал Ньютона. Архів оригіналу за 20 грудня 2016. Процитовано 12 січня 2017.
- Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
- Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
- Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
- Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
- Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
- Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
- Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 109—111.
- Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 248—251.
- Краса фракталів
- Побудова басейнів Ньютона на MATLAB [Архівовано 10 червня 2018 у Wayback Machine.]