Губка Менгера
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Menger-Schwamm-Reihe.jpg/220px-Menger-Schwamm-Reihe.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2d/Menger-Schwamm-6-iterations.jpg/220px-Menger-Schwamm-6-iterations.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Menger-Schwamm.png/220px-Menger-Schwamm.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Menger_sponge_3.stl/220px-Menger_sponge_3.stl.png)
Губка Менгера — геометричний фрактал, один з тривимірних аналогів килима Серпінського.
Куб з ребром 1 ділять площинами, паралельними його граням, на 27 рівних кубів. З куба видаляють центральний куб і всі прилеглі до нього по двовимірних гранях куби такого ж розміру. Лишається множина , що складається з решти 20 замкнутих кубів «першого рангу». Вчинивши так само з кожним з кубів першого рангу, отримаємо множину , що містить 400 кубів другого рангу. Продовжуючи цей процес нескінченно, одержимо нескінченну послідовність: , перерізом членів якої є губка Менгера.
- Задаються координати 20 точок-атракторів. Ними є 8 вершин і 12 середин ребер вихідного куба .
- Ймовірнісний простір розбивається на 20 рівних частин, кожна з яких відповідає одному атрактору.
- Задається деяка початкова точка , що лежить всередині куба .
- Початок циклу побудови точок, що належать множині губки Менгера.
- Генерується випадкове число .
- Активним атрактором стає той, на ймовірнісний підпростір якого випало згенероване число.
- Будується точка з новими координатами: , де: – координати попередньої точки ; – координати активної точки-атрактора.
- Повернення до початку циклу.
Губка Менгера складається з 20 однакових частин, коефіцієнт подібності 1/3.
- Кожна грань вихідного куба виглядає як килим Серпінського.
- Губка Менгера має проміжну (тобто не цілу) хаусдорфову розмірність, яка дорівнює оскільки вона складається з 20 рівних частин, кожна з яких подібна всій губці з коефіцієнтом подібності 1/3.
- Губка Менгера має топологічну розмірність 1, більше того
- Губка Менгера топологічно характеризується як одновимірний зв'язний локально зв'язний метризовний компакт, що не має точок локального розбиття (тобто для будь-якого зв'язного околу будь-якої точки множина зв'язна) і не має непорожніх відкритих і вкладених у площину підмножин.
- Губка Менгера є універсальною кривою Урисона, тобто вона має таку властивість, що яка б не була крива Урисона , в губці Менгера знайдеться підмножина , гомеоморфна .
- Губка Менгера має нульовий об'єм, але нескінченну площу граней. Об'єм визначається формулою 20/27 на кожну ітерацію.
![скринька з фільму "Повсталий з пекла"](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Hellraiser_Puzzle_Box.jpg/200px-Hellraiser_Puzzle_Box.jpg)
На основі губки Менгера французьким інженером ЛеМаршаном з серії фільмів Повсталий з пекла була побудована скринька.