Геометрія Лобачевського
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/%D0%9B%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9._%D0%92%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B0%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%281837%29.jpg/220px-%D0%9B%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9._%D0%92%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B0%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%281837%29.jpg)
Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) — одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського.
Евклідова аксіома про паралельні твердить:
через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її.
В геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома:
через точку, що не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.
Геометрія Лобачевського має широке застосування як в математиці, так і у фізиці. Історичне її значення полягає у тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість існування геометрії, відмінної від евклідової. Це ознаменувало нову епоху в розвитку геометрії і математики загалом.
Джерелом геометрії Лобачевського слугувало питання аксіоми про паралельні прямі, котра відома також як п'ятий постулат Евкліда (під цим номером у списку постулатів із «Начал» Евкліда знаходиться твердження, еквівалентне до наведеної аксіоми про паралельні прямі). Цей постулат, складніший порівняно з іншими, довгий час викликав спроби довести його на основі інших постулатів.
Ось неповний список учених, що займались доведенням V постулату до XIX ст.:
- давньогрецькі математики Птолемей (II ст.), Прокл Діадох (V ст.) (доведення Прокла базується на припущенні скінченності відстані між двома паралельними),
- Ібн аль-Хайсам з Іраку (кінець X ст. — початок XI ст.) (Ібн аль-Хайсам намагався довести V постулат, виходячи з припущення, що кінець рухомого перпендикуляра до прямої описує прямую лінію),
- іранський математик Омар Хаям (друга половина XI — початок XII ст.),
- азербайджанський математик Насиреддин Тусі (XIII ст.) (Хаям та Насиреддин при доведенні V постулату виходили з припущення, що дві збіжні прямі не можуть при продовженні стати розбіжними при перетині),
- німецький математик Христофор Клавій (1574),
- італійські математики
- П'єтро Катальді[en] (вперше в 1603 надрукував роботу, повністю присвячену питанню паралельних прямих),
- Дж. Бореллі (1658), Дж. Вітале (1680),
- англійський математик Джон Волліс (1663, опубліковано в 1693) (Волліс ґрунтує доведення V постулату на припущенні, що для кожної фігури існує подібна їй, але не рівна фігура).
Доведення вказаних вчених зводились до заміни V постулату іншими припущеннями, що здавались очевиднішими.
Моделлю геометрії Лобачевського називається поверхня або простір, в якому виконуються аксіоми геометрії Лобачевського.
Оскільки всі реалізації геометрії Лобачевського ізоморфні[1], твердження, доведене в одній моделі геометрії Лобачевського, буде дійсне в будь-якій іншій моделі. Тим самим для проведення міркувань можна щоразу вибирати найбільш «зручну» модель. Наприклад, в конформних моделях Пуанкаре, кут між кривими дорівнює евклідовому куту.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Klein_model.svg/240px-Klein_model.svg.png)
Точками моделі Кляйна є внутрішні точки круга одиничного радіуса з центром у початку координат. Відстань між точками і визначається за допомогою подвійного відношення, а саме як
для інтервалу , де і — точки перетину прямої з граничним колом круга.
Зазначимо, що точки граничного кола будуть нескінченно віддаленими точками площини Лобачевського. Граничне коло називають абсолютом або ідеальною межею.
У моделі Кляйна прямими є хорди кола[2]. Тому в цій моделі зручно розглядати питання пов'язані з опуклими множинами геометрії Лобачевського.
Перша фундаментальна форма площини Лобачевського в моделі Кляйна має вигляд[3]
Аналогічним чином влаштована модель багатовимірного простору Лобачевського. Точками простору будуть внутрішні точки кулі одиничного радіуса, та точно так само, як і на площині, задається відстань подвійним відношенням.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Poincare_disc_hyperbolic_parallel_lines.svg/250px-Poincare_disc_hyperbolic_parallel_lines.svg.png)
Точками в моделі Пуанкаре в кулі будуть внутрішні точки кулі, а множиною нескінченно віддалених точок (абсолютом) буде гранична сфера. Прямими в цій моделі будуть дуги кіл та відрізки, ортогональні абсолюту. Метричними сферами в цієї моделі будуть евклідові сфери, які лежать в кулі (зауважимо, що взагалі центри сфер зміщені відносно центрів евклідових сфер).
Це конформна модель геометрії Лобачевського, тобто кут між кривими в цій моделі збігається з евклідовим кутом.
Перша фундаментальна форма простору Лобачевського в моделі Пуанкаре в кулі має вигляд[3]
Точками в моделі Пуанкаре у верхній півплощині будуть внутрішні точки півпростору , а множиною нескінченно віддалених точок (абсолютом) буде гіперплощина . Прямими в цій моделі будуть дуги кіл і промені ортогональні абсолюту. Метричними сферами в цій моделі будуть звичайні евклідові сфери.
Перша фундаментальна форма простору Лобачевського в моделі Пуанкаре у верхній півплощині має вигляд[4]
Як і модель Пуанкаре в кулі, це також конформна модель геометрії Лобачевського. Існує конформне перетворення, яке перетворює одну модель в іншу.
- Лаптев Борис Лукич. Геометрия Лобачевского, её история и значение. — Москва : «Знание», 1976. — Т. 9. — 64 с. — (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибернетика») — 45 250 прим. (рос.)
- Бердон А. Геометрія дискретних груп = Геометрия дискретных групп: Пер. з англ.. — Москва : Наука, 1986. — 304 с.
- Ефимов Н.В. Вища геометрія = Высшая геометрия. — Москва : Наука, 1978. — 576 с.
- Погорелов А.В. Лекції з основ геометрії = Лекции по основаниям геометрии. — Харків : ХДУ, 1964. — 138 с.
- Прасолов В.В., Тихомиров В.М. Геометрія = Геометрия. — Москва : МЦНМО, 1997. — 352 с. (Книга в *.pdf та *.ps форматі. [Архівовано 9 січня 2015 у Wayback Machine.])
- А. С. Смогоржевский, «Про геометрію Лобачевського» [Архівовано 16 травня 2013 у Wayback Machine.], Популярні лекції з математики [Архівовано 21 січня 2022 у Wayback Machine.], Випуск 23, Гостехиздат 1957 г., 68 ст. (рос.)
- Ф. Клейн, «Неевклідова геометрія.» [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.], М.-Л., ОНТИ, 1936, 356 с. (рос.)
- Н. Н. Іовлев, «Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского» [Архівовано 5 жовтня 2014 у Wayback Machine.], М. -Л., Гиз, 1930 г., 67 с. (рос.)
![]() |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |