阿達馬伽瑪函數
在數學中,阿達馬伽瑪函數或阿達馬的伽瑪函數(Hadamard's gamma function)是除了伽瑪函數之外的另一種階乘的擴展定義方式,以雅克·阿达马命名。此函數可以視為將階乘的參數向左平移1,並且在階乘的非整數部分插值,但是有別於歐拉伽瑪函數將階乘擴展到實數和複數的定義。阿達馬的伽瑪函數的定義為:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Hadamards_gamma_function_plot.png/300px-Hadamards_gamma_function_plot.png)
一般Γ函數與阿达马Γ函數
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Γ函數(藍色)、阿达马Γ函數(橘色),其值在正整數時相同
其中,Γ(x)是一般的伽瑪函數。若n為正整數,則其函數與伽瑪函數和減一的階乘相等:
性質
编辑阿達馬伽瑪函數與一般伽瑪函數不同,阿達馬伽瑪函數沒有奇點,是一個完全連續的函數,並且滿足下面等式:
其中 在 趨近正整數時趨近為0。
阿達馬伽瑪函數 | 一般伽瑪函數 |
的複變函數圖形 |
阿達馬伽瑪函數與一般伽瑪函數的關係
由左至右分別為兩函數的差、兩函數之差的自然對數、兩函數之差的絕對值以及兩函數之比。 絕對值越小顏色越深,紅色是正實數、水藍色是負實數 可以看到在正整數的上兩函數相等。 |
其他表示法
编辑阿達馬伽瑪函數可以用双伽玛函数表示:
其中,ψ(x)表示双伽玛函数。
參考文獻
编辑- Hadamard, M. J., Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF), OEuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968, 1894 [2018-11-25], (原始内容存档 (PDF)于2021-02-25) (法语)
- Srivastava, H. M.; Junesang, Choi. Zeta and Q-Zeta Functions and Associated Series and Integrals. Elsevier insights. 2012: 124. ISBN 0123852188.
- Introduction to the Gamma Function. The Wolfram Functions Site. Wolfram Research, Inc. [27 February 2016]. (原始内容存档于2021-05-07).